Laplace

Primera parte. Transformada de Laplace.

Transformada de Laplace.

Continuidad seccional o a trazos y funciones de orden exponencial.

Propiedades de la transformada de Laplace.

Propiedad de linealidad en la transformada de Laplace.

Primera propiedad de traslación en la transformada de Laplace.

Segunda propiedad de traslación en la transformada de Laplace.

Propiedad del cambio de escala en la transformada de Laplace.

Transformada de Laplace en la derivada de una función.

Transformada de Laplace en la integral de una función.

Propiedad de la multiplicación por potencias de «t» en la transformada de Laplace.

Propiedad de la división por «t» en la transformada de Laplace.

Funciones especiales.

Transformada de Laplace de la función de Bessel.

Transformada de Laplace de la integral de la función seno, coseno y exponencial.

Transformada de Laplace de la función escalón unitario.

Funciones periódicas en la transformada de Laplace.

Evaluación de integrales y la transformada de Laplace.


Segunda parte. Transformada inversa de Laplace.

Introducción a la transformada inversa de Laplace, unicidad y teorema de Lerch.

Propiedades de la transformada inversa de Laplace.

Problemas resueltos que involucran la transformada inversa de Laplace.

Propiedad de linealidad en la transformada inversa de Laplace.

Primera propiedad de translación de la transformada inversa de Laplace.

Segunda propiedad de translación de la transformada inversa de Laplace.

Propiedad del cambio de escala en la transformada inversa de Laplace.

Transformada inversa de Laplace de las derivadas de F(s).

Propiedad de la división por potencias de «s».

Propiedad de la convolución en la transformada inversa de Laplace.

Métodos para determinar la transformada inversa de Laplace. Resumen.

Método de fracciones parciales para obtener la transformada inversa de Laplace utilizando álgebra.

Método de fracciones parciales para obtener la transformada inversa de Laplace utilizando límites.

Método de las series para obtener la transformada inversa de Laplace.

Método de las ecuaciones diferenciales para obtener la transformada inversa de Laplace de una función.

Fórmula del desarrollo de Heaviside.

Evaluación de integrales utilizando la transformada inversa de Laplace.


Tercera parte. Aplicaciones de la transformada de Laplace.

Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes utilizando la transformada de Laplace.

Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes variables utilizando la transformada de Laplace.

Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas utilizando la transformada de Laplace.

Solución de ecuaciones diferenciales parciales utilizando la transformada de Laplace.

Aplicaciones a la mecánica y la transformada de Laplace.

Aplicaciones a circuitos eléctricos y la transformada de Laplace.

Aplicaciones a las vigas y la transformada de Laplace.


Cuarta parte. Ecuaciones integrales y ecuaciones de diferencias.

Conversión de ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales y viceversa.

Ecuaciones integrales de tipo convolutorio en la transformada de Laplace.

Ecuación integral de Abel y el problema de la tautocrona.

Ecuaciones integro-diferenciales y la transformada de Laplace.

Ecuaciones de diferencias.

Ecuaciones diferenciales de diferencias.


Quinta parte. Introducción a la variable compleja.

Sistema de números complejos.

Forma polar y operaciones con números complejos.

Cálculo y variable compleja.

Ecuaciones de Cauchy – Riemann.

Integrales en variable compleja.

Series, puntos singulares y polos.

Teorema de los residuos.


Sexta parte. Introducción a las series de Fourier.

Series de Fourier.

Funciones pares e impares y series de Fourier de seno y coseno de semi-período.

Identidad de Parseval en las series de Fourier.

Transformada finita de Fourier y convergencia en series de Fourier.

Integral de Fourier y transformada de Fourier.


Séptima parte. Fórmula de inversión compleja.

Fórmula de inversión compleja y el contorno de Bromwich.

Utilización del teorema del residuo para hallar la transformada inversa de Laplace de una función.

Hallando la transformada inversa de Laplace para funciones con puntos de ramificación.

Hallando la transformada inversa de Laplace para funciones con infinitas singularidades.


Octava parte. Problemas de valor frontera.

Introducción a los problemas de valor frontera.

Conducción del calor en una dimensión.

Conducción del calor en un cilindro.

Cuerda vibrante.

Vibraciones de vigas.

Lineas de transmisión.