Curvatura y longitud de arco aplicado a las componentes tangente y normal de la aceleración. Cálculo vectorial.

Introducción

La longitud de arco y la curvatura están relacionadas con las componentes tangencial y normal de la aceleración. La componente tangencial de la aceleración es la razón de cambio de la rapidez, que a su vez es la razón de cambio de la longitud de arco. Esta componente es negativa cuando un objeto en movimiento reduce su velocidad y positiva cuando la aumenta, independientemente de si el objeto gira o viaja en una recta. En consecuencia, la componente tangencial es solamente la función de la longitud de arco y es independiente de la curvatura.

En el caso de la componente normal de la aceleración, sus funciones son tanto de la rapidez como de la curvatura. Esta componente mide la aceleración que actúa perpendicular a la dirección del movimiento. Por ejemplo, al conducir un automóvil por una curva puede verse que tanto afecta la rapidez y la curvatura a la componente normal. Si la velocidad es alta y la curva muy cerrada, el conductor se sentirá empujado contra la puerta del automóvil. Al bajar la velocidad o tomar una curva más suave, disminuirá el efecto de empuje lateral.

Teorema 1. Si $\mathbf{r} (t)$ es el vector posición de una curva suave $C$ , entonces el vector aceleración está dado por

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = a_{\mathbf{T}} \mathbf{T} + a_{\mathbf{N}} \mathbf{N} = \frac{d^2s}{dt^2} \mathbf{T} + K {\left( \frac{ds}{dt} \right)}^2 \mathbf{N}$

donde $K$ es la curvatura de $C$ y $ds/dt$ es la rapidez.

Problema resuelto

Problema 1. Encontrar $a_{\mathbf{T}}$ y $a_{\mathbf{N}}$ de la curva dada por $\displaystyle \mathbf{r} (t) = 2t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j} - \frac{1}{3} t^3 \mathbf{k}$ .

Solución. Del vector posición, se determina su primera derivada

$\displaystyle \mathbf{r} (t) = 2t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j} - \frac{1}{3} t^3 \mathbf{k}$

$\displaystyle \frac{d}{dt} [\mathbf{r} (t)] = \frac{d}{dt} (2t) \mathbf{i} + \frac{d}{dt} (t^2) \mathbf{j} - \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{3} t^3 \right) \mathbf{k}$

$\displaystyle \mathbf{r}' (t) = 2 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k}$

y su mangitud

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = ||2 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k}||$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{{(2)}^2 + {(2t)}^2 + {(-t^2)}^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{4 + 4t^2 + t^4}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{(t^2 + 2)^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = t^2 + 2$

Para obtener la curvatura $K$ , primero se determina el vector tangente

$\displaystyle \mathbf{T} (t) = \mathbf{T} = \frac{\mathbf{r}' (t)}{|| \mathbf{r}'(t) ||}$

$\displaystyle \mathbf{T} (t) = \frac{2 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k}}{t^2 + 2}$

Después, su derivada es

$\displaystyle \frac{d}{dt} [\mathbf{T} (t)] = \frac{d}{dt} \left( \frac{2 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k}}{t^2 + 2} \right)$

$\displaystyle \mathbf{T}' (t) = \frac{(t^2 + 2)(2 \mathbf{j} - 2t \mathbf{k}) - (2 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k})(2t)}{{(t^2 + 2)}^2}$

$\displaystyle \mathbf{T}' (t) = \frac{(2t^2 \mathbf{j} + 4 \mathbf{j} - 2t^3 \mathbf{k} - 4t \mathbf{k}) - (4t \mathbf{i} + 4t^2 \mathbf{j} - 2t^3 \mathbf{k})}{{(t^2 + 2)}^2}$

$\displaystyle \mathbf{T}' (t) = \frac{2t^2 \mathbf{j} + 4 \mathbf{j} - 2t^3 \mathbf{k} - 4t \mathbf{k} - 4t \mathbf{i} - 4t^2 \mathbf{j} + 2t^3 \mathbf{k}}{{(t^2 + 2)}^2}$

$\displaystyle \mathbf{T}' (t) = \frac{- 4t \mathbf{i} + (- 2t^2 + 4) \mathbf{j} - 4t \mathbf{k}}{{(t^2 + 2)}^2}$

Más tarde su magnitud

$\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = ||\frac{- 4t \mathbf{i} + (- 2t^2 + 4) \mathbf{j} - 4t \mathbf{k}}{{(t^2 + 2)}^2} ||$

$\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \sqrt{{(- 4t)}^2 + {(- 2t^2 + 4)}^2 + {(- 4t)}^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \sqrt{16t^2 + 4t^4 - 16 t^2 + 16 + 16t^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \sqrt{4t^4 + 16t^2 + 16}$

$\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \sqrt{4(t^4 + 4t^2 + 4)}$

$\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \sqrt{4(t^2 + 2)^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \cdot 2(t^2 + 2)$

$\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{2}{t^2 + 2}$

Entonces, la curvatura es

$\displaystyle K = \frac{||\mathbf{T}' (t)||}{|| \mathbf{r}' (t) ||}$

$\displaystyle K = \frac{\frac{2}{t^2 + 2}}{t^2 + 2}$

$\displaystyle K = \frac{2}{{(t^2 + 2)}^2}$

Del teorema 1 de este tema, se observa que

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = a_{\mathbf{T}} \mathbf{T} + a_{\mathbf{N}} \mathbf{N} = \frac{d^2s}{dt^2} \mathbf{T} + K {\left( \frac{ds}{dt} \right)}^2 \mathbf{N}$

Es decir,

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} = \frac{d^2s}{dt^2}$