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Curvatura. Calculo vectorial.

Introducción

Sea C una curva suave (en el plano o en el espacio) dada por \mathbf{r} (s), donde s es el parámetro longitud de arco. La curvatura K en s está dada por

\displaystyle K = \left| \left|  \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right| \right| = || \mathbf{T}'(s)||

Figura 1. Representación de la curvatura.
Figura 2. La magnitud de la razón de cambio de \mathbf{T} respecto a la longitud de arco es la curvatura de una curva.

Teorema 1. Si C es una curva suave dada por \mathbf{r} (t), entonces la curvatura K de C en t está dada por

\displaystyle K = \frac{||\mathbf{T}'(t)||}{||\mathbf{r}'(t)||} = \frac{||\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}'' (t)||}{||\mathbf{r}'(t)||^3}

Demostración. Como \displaystyle ||\mathbf{r}'(t)|| = \frac{ds}{dt}, la fórmula anterior implica que la curvatura es el cociente de la razón de cambio del vector tangente \mathbf{T} entre la razón de cambio de la longitud de arco. Para comprenderlo, sea \Delta t un número pequeño. Después

\displaystyle \frac{\mathbf{T}'(t)}{ds/dt} \approx \frac{[\mathbf{T}(t + \Delta t) - \mathbf{T} (t)]/\Delta t}{[s(t + \Delta t) - s(t)]/\Delta t} = \frac{\mathbf{T}(t + \Delta t) - \mathbf{T} (t)}{s(t + \Delta t) - s(t)} = \frac{\Delta \mathbf{T}}{\Delta s}

Es decir, para un \Delta s dado, cuanto mayor sea la longitud \Delta \mathbf{T} de la curva se dobla más en t (figura 4).

Figura 3.
Figura 4.

Teorema 2. Si C es una curva suave dada por \mathbf{r} (t), entonces la curvatura K de C en t está dada por

\displaystyle K = \frac{|| \mathbf{T}' (t)||}{||\mathbf{r}' (t)||} = \frac{|| \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)||}{||{\mathbf{r} (t)||}^3}

Teorema 3: Curvatura en coordenadas polares. Si C es la gráfica de una función dos veces derivable, entonces la curvatura en el punto está dada por y=f(x), y la curvatura K en el punto (x,y) es

\displaystyle K = \frac{|f''(x)|}{\left\{1 + {[f'(x)]}^2\right\}^{3/2}} = \frac{|y''|}{{[1 + {(y')}^2]}^{3/2}}

Figura 5. El círculo de curvatura.

Problemas resueltos

Problema 1. Demostrar que la curvatura de un círculo de radio r es \displaystyle K = \frac{1}{r}.

Solución. Se considera un circulo que está centrado en el origen. Sea (x,y) cualquier punto en el círculo y sea s la longitud de arco desde (r,0) hasta (x,y). \theta representará el ángulo central del circulo, por lo que la función vectorial del círculo es

\displaystyle r(\theta) = r \cos{\theta} \mathbf{i} + r \sin{\theta} \mathbf{j}

Recordando la formula de la longitud de un arco circular (s = r \theta, que al despejar sería \displaystyle \theta = \frac{s}{r}), la función vectorial se puede reescribir (en términos del parámetro longitud de arco) de la siguiente manera

\displaystyle r(s) = r \cos{\frac{s}{r}} \mathbf{i} + r \sin{\frac{s}{r}} \mathbf{j}

Figura 6. Representación gráfica del problema 1.

Determinando su primera derivada resulta que

\displaystyle \frac{d}{ds} [r(s)] = r \frac{d}{ds} \left[\cos{\frac{s}{r}} \right] \mathbf{i} + r \frac{d}{ds} \left[\sin{\frac{s}{r}} \right] \mathbf{j}

\displaystyle r'(s) = r \cdot \frac{1}{r} \left(-\sin{\frac{s}{r}} \right) \mathbf{i} + r \cdot \frac{1}{r} \left(\cos{\frac{s}{r}} \right) \mathbf{j}

\displaystyle r'(s) = -\sin{\frac{s}{r}} \mathbf{i} + \cos{\frac{s}{r}} \mathbf{j}

Calculando la magnitud de este último resultado, se tiene que

\displaystyle ||r'(s)|| = \left| \left|-\sin{\frac{s}{r}} \mathbf{i} + \cos{\frac{s}{r}} \mathbf{j} \right| \right|

\displaystyle ||r'(s)|| = \sqrt{{\left(-\sin{\frac{s}{r}} \right)}^2 + {\left(\cos{\frac{s}{r}} \right)}^2}

\displaystyle ||r'(s)|| = \sqrt{\sin^2{\frac{s}{r}} + \cos^2{\frac{s}{r}}} = \sqrt{1}

\displaystyle ||r'(s)|| = 1

Luego, es necesario calcular el vector unitario tangente,

\displaystyle \mathbf{T} (s) = \frac{\mathbf{r}'(s)}{||\mathbf{r}'(s)||}

\displaystyle \mathbf{T} (s) = \frac{-\sin{\frac{s}{r}} \mathbf{i} + \cos{\frac{s}{r}} \mathbf{j}}{1}

\displaystyle \mathbf{T} (s) = -\sin{\frac{s}{r}} \mathbf{i} + \cos{\frac{s}{r}} \mathbf{j}

Y por último la derivada del vector unitario tangente

\displaystyle \frac{d}{ds} [\mathbf{T} (s)] = \frac{d}{ds} \left[-\sin{\frac{s}{r}} \right] \mathbf{i} + \frac{d}{ds} \left[\cos{\frac{s}{r}} \right] \mathbf{j}

\displaystyle \mathbf{T}' (s) = - \frac{1}{r} \cos{\frac{s}{r}} \mathbf{i} - \frac{1}{r} \sin{\frac{s}{r}} \mathbf{j}

Finalmente, la curvatura es

\displaystyle K = || \mathbf{T}'(s)||

\displaystyle K = \left| \left|  - \frac{1}{r} \cos{\frac{s}{r}} \mathbf{i} - \frac{1}{r} \sin{\frac{s}{r}} \mathbf{j} \right| \right|

\displaystyle K = \sqrt{ {\left(- \frac{1}{r} \cos{\frac{s}{r}} \right)}^2 + {\left(- \frac{1}{r} \sin{\frac{s}{r}} \right)}^2 }

\displaystyle K = \sqrt{ \frac{1}{r^2} \cos^2{\frac{s}{r}} + \frac{1}{r^2} \sin^2{\frac{s}{r}} }

\displaystyle K = \sqrt{ \frac{1}{r^2} \left(\cos^2{\frac{s}{r}} + \sin^2{\frac{s}{r}} \right) }

\displaystyle K = \sqrt{ \frac{1}{r^2} \left(1 \right) } = \sqrt{ \frac{1}{r^2}}

\displaystyle \therefore K = \frac{1}{r}

El círculo que pasa por el punto P de radio r = \frac{1}{K} se denomina círculo de curvatura si su centro se encuentra en el lado cóncavo de la curva y tiene en común con la curva una recta tangente en el punto P. Al radio se le llama radio de curvatura en P, y al centro se le llama centro de curvatura.

Problema 2. Determinar la curvatura de la curva definida por \displaystyle \mathbf{r} (t) = 2t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j} - \frac{1}{3} t^3 \mathbf{k}.

Solución. Al no poder observarlo a simple vista si este parámetro represente la longitud de arco, se tomará la siguiente fórmula

\displaystyle K = \frac{|| \mathbf{T}'(t) ||}{|| \mathbf{r}'(t) ||}

donde está solicitando la magnitud de la primera derivada del vector tangente y la magnitud de la primera derivada del vector posición. Entonces, del vetor posición

\displaystyle \mathbf{r} (t) = 2t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j} - \frac{1}{3} t^3 \mathbf{k}

\displaystyle \mathbf{r}' (t) = \frac{d}{dt} (2t) \mathbf{i} + \frac{d}{dt} (t^2) \mathbf{j} - \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{3} t^3 \right) \mathbf{k}

\displaystyle \mathbf{r}' (t) = 2 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k}

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = ||2 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k}||

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{{(2)}^2 + {(2t)}^2+ {(-t^2)}^2}

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{4 + 4t^2+ t^4} = \sqrt{{(t^2 + 2)}^2}

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = t^2 + 2

Para el vector tangente, se tiene que

\displaystyle \mathbf{T} (t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|| \mathbf{r}' (t) ||}

\displaystyle \mathbf{T} (t) = \frac{2 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k}}{t^2 + 2}

Calculando la primera derivada del vector tangente

\displaystyle \mathbf{T}' (t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{2 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k}}{t^2 + 2} \right)

\displaystyle \mathbf{T}' (t) = \frac{(t^2 + 2)(2 \mathbf{j} - 2t \mathbf{k}) - (2 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k})(2t)}{{(t^2 + 2)}^2}

\displaystyle \mathbf{T}' (t) = \frac{(2t^2 \mathbf{j} - 2t^3 \mathbf{k} + 4 \mathbf{j} - 4t\mathbf{k}) - (4t \mathbf{i} + 4t^2 \mathbf{j} - 2t^3 \mathbf{k})}{{(t^2 + 2)}^2}

\displaystyle \mathbf{T}' (t) = \frac{2t^2 \mathbf{j} - 2t^3 \mathbf{k} + 4 \mathbf{j} - 4t\mathbf{k} - 4t \mathbf{i} - 4t^2 \mathbf{j} + 2t^3 \mathbf{k}}{{(t^2 + 2)}^2}

\displaystyle \mathbf{T}' (t) = \frac{- 4t \mathbf{i} + (- 2t^2 + 4) \mathbf{j} - 4t\mathbf{k}}{{(t^2 + 2)}^2}

Y su magnitud es

\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = ||\frac{- 4t \mathbf{i} + (- 2t^2 + 4) \mathbf{j} - 4t\mathbf{k}}{{(t^2 + 2)}^2}||

\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \sqrt{{(- 4t)}^2 + {(- 2t^2 + 4)}^2 + {(-4t)}^2}

\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \sqrt{16t^2 + 4t^4 - 16t^2 + 16 + 16t^2}

\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \sqrt{4t^4 +16t^2 + 16}

\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \sqrt{4(t^4 +4t^2 + 4)}

\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \sqrt{4{(t^2 +2)}^2}

\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{1}{{(t^2 + 2)}^2} \cdot 2(t^2 +2)

\displaystyle ||\mathbf{T}' (t)|| = \frac{2}{(t^2 + 2)}

De la fórmula de la curvatura, se sustituye lo que requiere

\displaystyle K = \frac{|| \mathbf{T}'(t) ||}{|| \mathbf{r}'(t) ||}

\displaystyle K = \frac{\frac{2}{(t^2 + 2)}}{t^2 + 2}

\displaystyle \therefore K = \frac{2}{{(t^2 + 2)}^2}

Problema 3. Encuentre la curvatura de la parábola dada por \displaystyle y = x - \frac{1}{4} x^2 en x=2. Dibujar el círculo de curvatura en (2,1).

Solución. De la función de la parábola, se determina su primera derivada

\displaystyle y = x - \frac{1}{4} x^2

\displaystyle \frac{d}{dx} (y) = \frac{d}{dx} \left(x - \frac{1}{4} x^2 \right)

\displaystyle y' = \frac{d}{dx} (x) - \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{4} x^2 \right)

\displaystyle y' = 1 - \frac{1}{2} x

y su segunda derivada es

\displaystyle \frac{d}{dx} (y') = \frac{d}{dx} \left(1 - \frac{1}{2} x \right)

\displaystyle y'' = - \frac{1}{2}

Tomando la fórmula de la curvatura para coordenadas rectangulares y sustituyendo, resulta que

\displaystyle K = \frac{|y''|}{{[1 + {(y')}^2]}^{3/2}}

\displaystyle K = \frac{|-\frac{1}{2}|}{{[1 + {(1 - \frac{1}{2} x)}^2]}^{3/2}}

\displaystyle K = \frac{1}{2{[1 + {(1 - \frac{1}{2} x)}^2]}^{3/2}}

Tomando el punto (2,1), la curvatura es

\displaystyle K = \frac{1}{2{\left\{1 + {[1 - \frac{1}{2} (2)]}^2 \right\}}^{3/2}}

\displaystyle K = \frac{1}{2{(1 + 0)}^{3/2}}

\displaystyle \therefore K = \frac{1}{2}

La curvatura en P(2,1) es \displaystyle \frac{1}{2}, el radio del círculo de curvatura en ese punto es 2.

Figura 7. Representación gráfica del problema 3.

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