blog, cálculo vectorial

Longitud de arco de una curva en el espacio. Cálculo vectorial.

Introducción

Si C es una curva suave dada por \displaystyle \mathbf{r} (t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j} + z(t) \mathbf{k} en un intervalo [a,b], entonces la longitud de arco C en el intervalo es

\displaystyle s = \int_a^b{\sqrt{{[x'(t)]}^2 + {[y'(t)]}^2 + {[z'(t)]}^2} \ dt} = \int_a^b{|| \mathbf{r}'(t) || \ dt}

Problemas resueltos

Problema 1. Encuentre la longitud de arco de la curva dada por \displaystyle \mathbf{r} (t) = t \mathbf{i} + \frac{4}{3} t^{3/2} \mathbf{j} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{k} desde t=0 hasta t=2, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 1. Representación gráfica del problema 1.

Solución. De la función del problema, se determina su primera derivada

\displaystyle \mathbf{r} (t) = t \mathbf{i} + \frac{4}{3} t^{3/2} \mathbf{j} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{k}

\displaystyle \frac{d}{dt} [\mathbf{r} (t)] = \frac{d}{dt} \left[t \mathbf{i} + \frac{4}{3} t^{3/2} \mathbf{j} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{k} \right]

\displaystyle \mathbf{r}' (t) = \mathbf{i} + 2t^{1/2} \mathbf{j} + t \mathbf{k}

Después, se determina su magnitud

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = || \mathbf{i} + 2t^{1/2} \mathbf{j} + t \mathbf{k}||

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{{(1)}^2 + {(2t^{1/2})}^2 + t^2}

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{1 + 4t + t^2}

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{{(t+2)}^2 - 3}

Tomando la fórmula de la longitud de arco y sustituyendo

\displaystyle s = \int_a^b{|| \mathbf{r}'(t) || \ dt}

\displaystyle s = \int_0^2{\sqrt{{(t+2)}^2 - 3} \ dt}

\displaystyle s = \left[ \frac{(t+2)}{2} \sqrt{{(t+2)}^2 - 3} - \frac{3}{2} \ln{\left| (t+2) + \sqrt{{(t+2)}^2 - 3} \right|} \right]_0^2

\displaystyle s = \left[ \frac{(2+2)}{2} \sqrt{{(2+2)}^2 - 3} - \frac{3}{2} \ln{\left| (2+2) + \sqrt{{(2+2)}^2 - 3} \right|} \right] - \left[ \frac{(0+2)}{2} \sqrt{{(0+2)}^2 - 3} - \frac{3}{2} \ln{\left| (0+2) + \sqrt{{(0+2)}^2 - 3} \right|} \right]

\displaystyle s = \left[ 2 \sqrt{13} - \frac{3}{2} \ln{\left| 4 + \sqrt{13} \right|} \right] - \left[ \sqrt{1} - \frac{3}{2} \ln{\left| 2 + \sqrt{1} \right|} \right]

\displaystyle \therefore s = 2 \sqrt{13} - \frac{3}{2} \ln{\left| 4 + \sqrt{13} \right|} - 1 + \frac{3}{2} \ln{3} \approx 4.816

Problema 2. Hallar la longitud de un giro de la hélice dada por \displaystyle \mathbf{r} (t) = b \cos{t} \mathbf{i} + b \sin{t} \mathbf{j} + \sqrt{1-b^2} t \mathbf{k}.

Figura 2. Representación gráfica del giro de una hélice.

Solución. Se determina la primera derivada de la función dada

\displaystyle \mathbf{r} (t) = b \cos{t} \mathbf{i} + b \sin{t} \mathbf{j} + \sqrt{1-b^2} t \mathbf{k}

\displaystyle \frac{d}{dt} [\mathbf{r} (t)] = \frac{d}{dt} [b \cos{t} \mathbf{i} + b \sin{t} \mathbf{j} + \sqrt{1-b^2} t \mathbf{k}]

\displaystyle \mathbf{r}' (t) = - b \sin{t} \mathbf{i} + b \cos{t} \mathbf{j} + \sqrt{1-b^2} \mathbf{k}

Después, se calcula su magnitud

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = ||- b \sin{t} \mathbf{i} + b \cos{t} \mathbf{j} + \sqrt{1-b^2} \mathbf{k}||

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{{(- b \sin{t})}^2 + {(b \cos{t})}^2 + {(\sqrt{1-b^2})}^2}

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{b^2 \sin^2{t} + b^2 \cos^2{t} + (1-b^2)}

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{b^2 (\sin^2{t} + \cos^2{t}) + 1-b^2}

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{b^2 + 1-b^2} = \sqrt{1}

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = 1

Realizando la sustitución en la fórmula de la longitud de arco, resulta

\displaystyle s = \int_a^b{|| \mathbf{r}'(t) || \ dt}

\displaystyle s = \int_0^{2\pi}{(1) \ dt} = \int_0^{2\pi}{dt}

\displaystyle s = \left[ t \right]_0^{2\pi} = 2\pi - 0

\displaystyle \therefore s = 2\pi

Se concluye que la longitud de un giro de la hélice es de 2\pi.


Deja una respuesta

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Salir /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Salir /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Salir /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.