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Función longitud de arco. Cálculo vectorial.

Introducción

Sea C una curva suave dada por \mathbf{r} (t) definida en el intervalo cerrado [a,b]. Para a \le t \le b, la función longitud de arco es

\displaystyle s(t) = \int_{a}^{t}{|| \mathbf{r}' (u) || \ du} = \int_{a}^{t}{\sqrt{{[x'(u)]}^2 + {[y'(u)]}^2 + {[z'(u)]}^2} \ du}

La longitud de arco s se llama el parámetro longitud de arco.

Figura 1. Representación de la función longitud de arco.

Se observa que la función de la longitud de arco s no es negativa. Mide la distancia sobre C desde el punto inicial (x(a), y(a), z(a)), hasta el punto (x(t), y(t), z(t)).

Teorema

Si C es una curva suave dada por

\mathbf{r} (s) = x(s) \mathbf{i} + y(s) \mathbf{j}

(Curva plana)

\mathbf{r} (s) = x(s) \mathbf{i} + y(s) \mathbf{j} + z(s) \mathbf{k}

(Curva espacial)

donde s es el parámetro longitud de arco, entonces

|| \mathbf{r}'(t)|| = 1

Además, si t es cualquier parámetro para la función vectorial \mathbf{r}, tal que ||\mathbf{r}' (t)|| = 1, entonces t debe ser el parámetro longitud de arco.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar la función longitud de arco s(t) para el segmento de recta dado por \displaystyle \mathbf{r} (t) = (3-3t) \mathbf{i} + 4t \mathbf{j}, 0 \le t \le 1 y expresar \mathbf{r} como función del parámetro s.

Figura 2. Representación gráfica del problema 1.

Solución. Se determina la primera derivada de la función vectorial dada

\displaystyle \mathbf{r} (t) = (3-3t) \mathbf{i} + 4t \mathbf{j}

\displaystyle \frac{d}{dt} [\mathbf{r} (t)] = \frac{d}{dt} \left[(3-3t) \mathbf{i} + 4t \mathbf{j} \right]

\displaystyle \mathbf{r}' (t) = -3 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j}

y después su magnitud

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = ||-3 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j}||

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{{(-3)}^2 + {4}^2}

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}

\displaystyle ||\mathbf{r}' (t)|| = 5

Por variable comodín (se cambia t por u,

\displaystyle ||\mathbf{r}' (u)|| = 5

Calculando la función longitud de arco, resulta que

\displaystyle s(t) = \int_{a}^{t}{|| \mathbf{r}' (u) || \ du}

\displaystyle s(t) = \int_{0}^{t}{5 \ du}

\displaystyle s(t) = 5 \int_{0}^{t}{du}

\displaystyle s(t) = 5 \left[ u \right]_{0}^{t}

\displaystyle s(t) = 5 \left(t - 0) \right]

\displaystyle \therefore s(t) = 5t

Luego, despejando t,

\displaystyle s = 5t

\displaystyle \frac{s}{5} = t

y sustituyendo en la función del problema, la función esperada es,

\displaystyle \mathbf{r} (t) = (3-3t) \mathbf{i} + 4t \mathbf{j}

\displaystyle \mathbf{r} (s) = \left[3-3 \left(\frac{s}{5} \right) \right] \mathbf{i} + 4\left( \frac{s}{5} \right) \mathbf{j}

\displaystyle \therefore \mathbf{r} (s) = \left(3-\frac{3}{5} s \right) \mathbf{i} + \frac{4}{5} s  \mathbf{j}

para 0 \le s \le 5 (esto se obtuvo sustituyendo el resultado de la función del parámetro s).


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