Componentes tangencial y normal de la aceleración. Cálculo vectorial.

Introducción

Cuando un objeto viaja con rapidez variable, los vectores velocidad y aceleración no necesariamente son perpendiculares.

Si $\mathbf{r} (t)$ es el vector posición de una curva suave $C$ y existe $\mathbf{N} (t)$ , entonces el vector aceleración $\mathbf{a} (t)$ se encuentra en el plano determinado por $\mathbf{T} (t)$ y $\mathbf{N} (t)$ .

A los coeficientes de $\mathbf{T}$ y de $\mathbf{N}$ se les conoce como componentes tangencial y normal de la aceleración, y se denotan por

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} = \frac{d}{dt} [|| \mathbf{v} ||]$

$\displaystyle a_{\mathbf{N}} = ||\mathbf{v}|| ||\mathbf{T}'||$

Por tanto, se puede escribir

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = a_{\mathbf{T}} \mathbf{T} (t) + a_{\mathbf{N}} \mathbf{N} (t)$

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Si $\mathbf{r} (t)$ es el vector posición de una curva suave $C$ [para la cual $\mathbf{N}(t)$ existe], entonces las componentes tangencial y normal de la aceleración son las siguientes.

$\displaystyle a_\mathbf{T} = \frac{d}{dt} [|| \mathbf{v} ||] = \mathbf{a} \cdot \mathbf{T} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}}{|| \mathbf{v}||}$

$\displaystyle a_\mathbf{N} = ||\mathbf{v}|| \ || \mathbf{T}' ||= \mathbf{a} \cdot \mathbf{N} = \frac{||\mathbf{v} \times \mathbf{a}||}{|| \mathbf{v}||} = \sqrt{{|| \mathbf{a} ||}^2 - {a_\mathbf{T}}^2}$

Figura 1. Representando los componentes tangencial y normal de la aceleración.

Se observa que $a_{\mathbf{N}} \ge 0$ . A la componente normal de la aceleración también se le llama componente centrípeta de la aceleración.

Problemas resueltos

Problemas 1. Encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración para el vector posición dado por $\mathbf{r} (t) = 3t \mathbf{i} - t \mathbf{j} + t^2 \mathbf{k}$ .

Solución. Del vector posición se determina la velocidad

$\displaystyle \mathbf{v} (t) = \mathbf{r}'(t)$

$\displaystyle \mathbf{v} (t) = \frac{d}{dt} [\mathbf{r}(t)]$

$\displaystyle \mathbf{v} (t) = \frac{d}{dt} \left[ 3t \mathbf{i} - t \mathbf{j} + t^2 \mathbf{k} \right]$

$\displaystyle \mathbf{v} (t) = 3 \mathbf{i} - \mathbf{j} + 2t \mathbf{k}$

Después, se determina la rapidez

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = ||3 \mathbf{i} - \mathbf{j} + 2t \mathbf{k}||$

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = \sqrt{{3}^2 + {(- 1)}^2 + {2t}^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = \sqrt{9 + 1 + 4t^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = \sqrt{10 + 4t^2}$

y más tarde, la aceleración

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = \mathbf{r}''(t)$

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = \mathbf{v}'(t) = \frac{d}{dt} [\mathbf{v}(t)]$

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = \frac{d}{dt} [3 \mathbf{i} - \mathbf{j} + 2t \mathbf{k}]$

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = 0 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 2 \mathbf{k}$

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = 2 \mathbf{k}$

La componente tangencial de la aceleración es

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}}{|| \mathbf{v} ||}$

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} = \frac{\left( 3 \mathbf{i} - \mathbf{j} + 2t \mathbf{k} \right) \cdot \left( 2 \mathbf{k} \right)}{\sqrt{10 + 4t^2}}$

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} = \frac{\left( 3 \mathbf{i} - \mathbf{j} + 2t \mathbf{k} \right) \cdot \left( 0 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 2 \mathbf{k} \right)}{\sqrt{10 + 4t^2}}$

$\displaystyle \therefore a_{\mathbf{T}} = \frac{4t}{\sqrt{10 + 4t^2}}$

Antes de calcular la componente normal, primero se debe obtener el producto vectorial entre la velocidad y la aceleración

$\displaystyle \mathbf{v} \times \mathbf{a} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & 2t \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right|$

$\displaystyle \mathbf{v} \times \mathbf{a} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & 2t \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} \\ 3 & -1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right|$

$\displaystyle \mathbf{v} \times \mathbf{a} = -2 \mathbf{i} - 6 \mathbf{j}$

y su magnitud es

$\displaystyle ||\mathbf{v} \times \mathbf{a}|| = ||-2 \mathbf{i} - 6 \mathbf{j}||$

$\displaystyle ||\mathbf{v} \times \mathbf{a}|| = \sqrt{{(-2)}^2 + {(- 6)}^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{v} \times \mathbf{a}|| = \sqrt{4 + 36}$

$\displaystyle ||\mathbf{v} \times \mathbf{a}|| = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$

La componente normal de la aceleración es

$\displaystyle a_\mathbf{N} = \frac{||\mathbf{v} \times \mathbf{a}||}{|| \mathbf{v}||}$

$\displaystyle \therefore a_\mathbf{N} = \frac{2 \sqrt{10}}{ \sqrt{10 + 4t^2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{ \sqrt{5 + 2t^2}}$

Problema 2. Encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración para la hélice dada por $\displaystyle \mathbf{r} (t) = b \cos{t} \mathbf{i} + b \sin{t} \mathbf{j} + ct \mathbf{k}$ , $b>0$ .

Solución. Se calcula el vector velocidad

$\displaystyle \mathbf{v} (t) = \mathbf{r}'(t)$

$\displaystyle \mathbf{v} (t) = \frac{d}{dt} [\mathbf{r}(t)]$

$\displaystyle \mathbf{v} (t) = \frac{d}{dt} [b \cos{t} \mathbf{i} + b \sin{t} \mathbf{j} + ct \mathbf{k}]$

$\displaystyle \mathbf{v} (t) = - b \sin{t} \mathbf{i} + b \cos{t} \mathbf{j} + c \mathbf{k}$

después la rapidez

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = ||- b \sin{t} \mathbf{i} + b \cos{t} \mathbf{j} + c \mathbf{k}||$

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = \sqrt{{(- b \sin{t}) }^2 + {(b \cos{t})}^2 + c^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = \sqrt{b^2 \sin^2{t} + b^2 \cos^2{t} + c^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = \sqrt{b^2 + c^2}$

y luego, se calcula el vector aceleración

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = \mathbf{r}''(t)$

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = \mathbf{v}'(t) = \frac{d}{dt} [\mathbf{v}(t)]$

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = \frac{d}{dt} \left[- b \sin{t} \mathbf{i} + b \cos{t} \mathbf{j} + c \mathbf{k} \right]$

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = - b \cos{t} \mathbf{i} - b \sin{t} \mathbf{j} + 0 \mathbf{k}$

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = - b \cos{t} \mathbf{i} - b \sin{t} \mathbf{j}$

y su magnitud

$\displaystyle ||\mathbf{a} (t)|| = ||- b \cos{t} \mathbf{i} - b \sin{t} \mathbf{j}||$

$\displaystyle ||\mathbf{a} (t)|| = \sqrt{- b \cos{t} \mathbf{i} - b \sin{t} \mathbf{j}}$

$\displaystyle ||\mathbf{a} (t)|| = \sqrt{{(- b \cos{t})}^2 + {(- b \sin{t})}^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{a} (t)|| = \sqrt{b^2 \cos^2{t} + b^2 \sin^2{t}} = \sqrt{b^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{a} (t)|| = b$

La componente tangencial de la aceleración es

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}}{|| \mathbf{v} ||}$

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} = \frac{(- b \sin{t} \mathbf{i} + b \cos{t} \mathbf{j} + c \mathbf{k}) \cdot (- b \cos{t} \mathbf{i} - b \sin{t} \mathbf{j})}{\sqrt{b^2 + c^2}}$

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} = \frac{b^2 \sin{t} \cos{t} - b^2 \sin{t} \cos{t} +0}{\sqrt{b^2 + c^2}}$

$\displaystyle \therefore a_{\mathbf{T}} = 0$

y la componente normal de la aceleración es

$\displaystyle a_\mathbf{N} = \sqrt{{|| \mathbf{a} ||}^2 - {a_\mathbf{T}}^2}$

$\displaystyle a_\mathbf{N} = \sqrt{b^2 - {0}^2} = \sqrt{b^2}$

$\displaystyle \therefore a_\mathbf{N} = b$

Se observa que la componente normal de la aceleración es igual a la magnitud de la aceleración. En otras palabras, puesto que la rapidez es constante, la aceleración es perpendicular a la velocidad.

Problema 3. El vector posición para el proyectil mostrado en la siguiente figura está dado por $\displaystyle \mathbf{r} (t) = (50 \sqrt{2} t) \mathbf{i} + (50 \sqrt{2} t - 16t^2) \mathbf{j}$ . Halle la componente tangencial de la aceleración cuando $t=0$ , $1$ y $\displaystyle 25 \sqrt{2} /16$ .

Figura 3. Representación gráfica del problema 3.

Solución. Se determina el vector velocidad

$\displaystyle \mathbf{r} (t) = (50 \sqrt{2} t) \mathbf{i} + (50 \sqrt{2} t - 16t^2) \mathbf{j}$

$\displaystyle \frac{d}{dt} [\mathbf{r} (t)] = \frac{d}{dt} \left[(50 \sqrt{2} t) \mathbf{i} + (50 \sqrt{2} t - 16t^2) \mathbf{j} \right]$

$\displaystyle \mathbf{v} (t) = \left(50 \sqrt{2} \right) \mathbf{i} + \left(50 \sqrt{2} - 32t \right) \mathbf{j}$

Después, la rapidez es

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = \sqrt{{\left(50 \sqrt{2} \right)}^2 + {\left(50 \sqrt{2} - 32t \right)}^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = \sqrt{2500(2) + 2500 (2) + 2(50 \sqrt{2})(-32t) + 1024 t^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = \sqrt{5000 + 5000 - 3200 \sqrt{2} t + 1024 t^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = \sqrt{10000 - 3200 \sqrt{2} t + 1024 t^2}$

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = \sqrt{4(2500 - 800 \sqrt{2} t + 256 t^2)}$

$\displaystyle ||\mathbf{v} (t)|| = 2 \sqrt{2500 - 800 \sqrt{2} t + 256 t^2}$

y el vector aceleración (calculando la derivada del vector velocidad) es

$\displaystyle \frac{d}{dt} [\mathbf{v} (t)] = \frac{d}{dt} \left[\left(50 \sqrt{2} \right) \mathbf{i} + \left(50 \sqrt{2} - 32t \right) \mathbf{j} \right]$

$\displaystyle \mathbf{a} (t) = 0 \mathbf{i} - 32 \mathbf{j} = - 32 \mathbf{j}$

Tomando la fórmula de la componente tangencial de la aceleración y sustituyendo los valores, resulta que

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} (t) = \frac{\mathbf{v} (t) \cdot \mathbf{a} (t)}{|| \mathbf{v} (t) ||}$

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} (t) = \frac{\left[ \left(50 \sqrt{2} \right) \mathbf{i} + \left(50 \sqrt{2} - 32t \right) \mathbf{j} \right] \cdot \left(0 \mathbf{i} - 32 \mathbf{j} \right)}{2 \sqrt{2500 - 800 \sqrt{2} t + 256 t^2}}$

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} (t) = - \frac{ 32 \left(50 \sqrt{2} - 32t \right)}{2 \sqrt{2500 - 800 \sqrt{2} t + 256 t^2}}$

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} (t) = - \frac{ 16 \left(50 \sqrt{2} - 32t \right)}{\sqrt{2500 - 800 \sqrt{2} t + 256 t^2}}$

cuando $t=0$ , el resultado es

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} (0) = - \frac{ 16 \left[50 \sqrt{2} - 32(0) \right]}{\sqrt{2500 - 800 \sqrt{2} (0) + 256 {(0)}^2}}$

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} (0) = - \frac{ 16 \left(50 \sqrt{2} \right)}{\sqrt{2500}}$

$\displaystyle \therefore a_{\mathbf{T}} (0) = - 16 \sqrt{2} \approx - 22.627$

cuando $t = 1$ , el resultado es

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} (1) = - \frac{ 16 \left[50 \sqrt{2} - 32(1) \right]}{\sqrt{2500 - 800 \sqrt{2} (1) + 256 {(1)}^2}}$

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} (1) = - \frac{ 16 \left(50 \sqrt{2} - 32 \right)}{\sqrt{2500 - 800 \sqrt{2} + 256}}$

$\displaystyle \therefore a_{\mathbf{T}} (1) = - \frac{ 16 \left(50 \sqrt{2} - 32 \right)}{\sqrt{2756 - 800 \sqrt{2}}} \approx - 15.4$

y cuando $\displaystyle t = 25 \sqrt{2} /16$

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} \left( 25 \sqrt{2} /16 \right) = - \frac{ 16 \left[50 \sqrt{2} - 32 \left( 25 \sqrt{2} /16 \right) \right]}{\sqrt{2500 - 800 \sqrt{2} \left( 25 \sqrt{2} /16 \right) + 256 {\left( 25 \sqrt{2} /16 \right)}^2}}$

$\displaystyle a_{\mathbf{T}} \left( 25 \sqrt{2} /16 \right) = - \frac{ 16 \left(50 \sqrt{2} - 50 \sqrt{2} \right)}{\sqrt{2500 - 800 \sqrt{2} \left( 25 \sqrt{2} /16 \right) + 256 {\left( 25 \sqrt{2} /16 \right)}^2}}$