cálculo diferencial

Ecuaciones de valor absoluto. Cálculo diferencial.

Introducción

Si x es un número real, se define el valor absoluto de a como

\displaystyle |a| = \left\{ \begin{matrix} a & \text{si} \ a \ge 0 \\ -a & \text{si} \ a < 0 \end{matrix} \right.

El valor absoluto se denota como | | o abs( ) y siempre será positivo; por lo tanto, una ecuación que involucre valor absoluto siempre tendrá dos soluciones, una positiva y otra negativa, la cual, al estar en valor absoluto y hacer referencia a la magnitud de la cantidad, se tomará positiva.

Las ecuaciones de valor absoluto son igualdades que involucran variables dentro del valor absoluto.

Propiedades del valor absoluto

  1. |a| \ge 0
  2. |a| = 0 si y solo si a=0
  3. |a| = |-a|
  4. |ab| = |a| |b|
  5. \displaystyle \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}, |b| \ne 0

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver |x-4|  + 7 = 21.

Solución. Se colocan todos los términos constantes en el segundo miembro mientras se deja la expresión del valor absoluto en el primero.

|x-4| + 7 = 21

|x-4| = 21-7

|x-4| = 14

Ahora

Cuando es (-)Cuando es (+)
x-4 = -14x-4 = 14
x = 4 - 14x = 4 + 14
x = - 10 x = 18

Entonces, se obtuvieron dos valores de x que son x_1 = -10 y x_2 = 18.

Esto se puede comprobar tomando la ecuación brindada por el problema con los valores obtenidos

Cuando es x = -10Cuando es x= 18
|x-4|  + 7 = 21 |x-4|  + 7 = 21
|-10-4|  + 7 = 21 |18-4|  + 7 = 21
|-14| + 7 = 21 |14|  + 7 = 21
14 + 7 = 21 14  + 7 = 21
21 = 21 21 = 21

Problema 2. Resolver 5|4x-5|  - 24 = -9.

Solución. Se separan los términos en cada miembro

\displaystyle 5|4x-5| - 24 = -9

\displaystyle 5|4x-5| = 24 -9

\displaystyle 5|4x-5| = 15

\displaystyle |4x-5| = \frac{15}{5}

\displaystyle |4x-5| = 3

Ahora

Cuando es (-)Cuando es (+)
4x-5 = -34x-5 = 3
4x = 5 - 34x = 5 + 3
4x = 2 4x = 8
\displaystyle x = \frac{2}{4}\displaystyle x = \frac{8}{4}
\displaystyle x = \frac{1}{2}x = 2

Así que, se obtuevieron dos valores de x que son \displaystyle x_1 = \frac{1}{2} y x = 2.

Llevando a cabo su comprobación

Cuando es \displaystyle x = \frac{1}{2}Cuando es x= 2
5|4x-5|  - 24 = -9 5|4x-5|  - 24 = -9
\displaystyle 5 \left|4 \left(\frac{1}{2} \right)-5 \right|  - 24 = -9 5|4(2)-5| - 24 = -9
\displaystyle 5 \left|\frac{4}{2}-5 \right| - 24 = - 9 5|8-5| - 24 = -9
5|2-5| -24 = -9 5|3| - 24 = -9
5 |-3| - 24 = -9 5(3) - 24 = -9
5(3) - 24 = -915 - 24 = -9
15 - 24 = -9-9 = -9
-9 = -9

Problema 3. Resolver |8-5x|  = 12.

Solución. Aplicando el análisis de ecuaciones con valor absoluto, se tienen dos valores de $latex x.

Cuando es (-)Cuando es (+)
8-5x = - 128-5x = 12
-5x = -8 - 12-5x = -8 + 12
-5x = -20 -5x = 4
\displaystyle x = \frac{-20}{-5}\displaystyle x = - \frac{4}{5}
\displaystyle x = 4

Por lo tanto, x_1 = 4 y \displaystyle x_2 = - \frac{4}{5}.

Comprobando que estos valores obtenidos sean los correctos, se demuestra que:

Cuando es x = 4Cuando es \displaystyle x= - \frac{4}{5}
|8-5x|= 12 |8-5x| = 12
|8-5(4)|= 12 \displaystyle \left|8-5\left(\frac{4}{5} \right) \right| = 12
|8 - 20| = 12 \displaystyle \left|8-5 \left(\frac{20}{5} \right) \right| = 12
|-12| = 12 |8 - 5(4)| = 12
12 =12 |8-20| = 12
|-12| = 12
12=12

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