Desigualdades cuadráticas – Segundo método. Cálculo diferencial.

Análisis gráfico.

Las desigualdades cuadráticas pueden tener uno o dos intervalos de solución si ésta toca o corta al eje $x$ como si se tratara de una ecuación cuadrática, sólo que sus soluciones son intervalos y no números concretos. Si la ecuación cuadrática corta al eje $x$ tiene dos soluciones; si sólo toca el vértice tiene una solución; de lo contrario las soluciones serán imaginarias. Los cuatro posibles casos que se pueden presentar en una ecuación cuadrática son los que se mostrarán a continuación (figuras 1 al 4).

Figura 1. Representación gráfica de una ecuación cuadrática ax2+bx+c es menor a 0

¿Cómo encontrar los intervalos de una desigualdad cuadrática y cómo representarlo gráficamente?

Paso 1. Despejar la desigualdad: del lado izquierdo irán todos los términos diferentes de cero y del lado derecho cero.

Paso 2. Después se factoriza y se resuelve la desigualdad cuadrática para encontrar los puntos donde su gráfica corta al eje $x$ . Para fines prácticos, el vértice no se tomará en cuenta sino sólo donde cruce al eje $x$ .

Paso 3. Si el término cuadrático es positivo se grafica con la forma $\cup$ , donde cada lado será una de las soluciones de la desigualdad cuadrática. Por el contrario, si el término es negativo tendrá la forma $\cap$ .

Paso 4. Si la desigualdad es mayor que cero, los intervalos solución serán aquellos en donde la gráfica está por arriba del eje $x$ ; de lo contrario, si la desigualdad es menor que cero los intervalos solución de la desigualdad serán aquellos en los que la gráfica esté por debajo del eje $x$ .

Notas

Si la desigualdad cuadrática es menor que cero y el término cuadrático es positivo, habrá un intervalo solución y estará comprendido por los valores de $x$ que están entre las intersecciones de la gráfica con el eje $x$ .
Si la desigualdad cuadrática es mayor que cero y el término cuadrático es positivo, habrá dos intervalos solución y estarán comprendidos entre el $-\infty$ y la primera intersección, y la segunda intersección y $+ \infty$ .
Si la desigualdad cuadrática es menor que cero y el término cuadrático es negativo, habrá dos intervalos solución y estarán comprendidos entre el $- \infty$ y la primera intersección, y la segunda intersección y $+ \infty$ .
Si la desigualdad cuadrática es mayor que cero y el término cuadrático es positivo, sólo habrá un intervalo solución y estará comprendido entre las intersecciones con el eje $x$ .

Problemas resueltos

Problema 1. Obtener la solución de $x^2 - x < 12$ .

Solución. Se aplica el primer paso: colocar los términos distintos de cero en el lado izquierdo y el cero del lado derecho.

$\displaystyle x^2 - x < 12$

$\displaystyle x^2 - x -12 < 0$

Recordando el paso 2, se factoriza el término cuadrático y se determinan los puntos en los que corta el eje $x$ .

$\displaystyle x^2 - x -12 < 0$

$\displaystyle (x-4)(x+3) < 0$

donde

Del tercer paso se observa que el término cuadrático (es decir $x^2$ ) es positivo, por lo que su gráfica tendrá la forma de $\cup$ que va cruzando al eje $x$ en los puntos $(-3,0)$ y $(4,0)$ .

Figura 5. Representación gráfica de la solución de la desigualdad cuadrática del problema 1.

Por último, como la desigualdad es menor que cero, el intervalo solución estará formado por los valores de $x$ en los que la gráfica se encuentra por debajo del eje $x$ y que está comprendida entre las intersecciones con el eje $x$ . Por lo tanto, la solución es el intervalo $(-3,4)$ .

Problema 2. Obtener la solución de $- x^2 - 2x + 8 \le 0$ .

Solución. Del primer paso, ya se ha aplicado todos los términos distintos de cero en el lado izquierdo y el cero del lado derecho.

Del paso 2, se aplica la factorización y se determinan sus soluciones

$- x^2 - 2x + 8 \le 0$

$(-x+2)(x+4) \le 0$

donde

En el tercer paso, las intersecciones con el eje $x$ serán $(2,0)$ y $(-4,0)$ . Esto se muestra en la siguiente figura 6.

Figura 6. Representación gráfica de la solución de la desigualdad cuadrática del problema 2.

Por último, ya que el término cuadrático (es decir, $-x^2$ ) es negativo y la desigualdad es menor o igual que cero, los intervalos solución encontrados son $(- \infty, -4]$ y $[2, \infty)$ .