cálculo diferencial

Axiomas y propiedades de los números reales. Cálculo diferencial

Propiedades de orden

Las propiedades de orden de los números reales establecen el orden obvio de los números, distinguen que dato o conjunto de datos es mayor o menor que otro (esto otorga un valor o jerarquía a los números), permite formar agrupaciones, comparaciones o distribuciones entre los números; así mismo, el orden de los números es la base de la recta numérica y de los sistemas de coordenadas con lo que se puede crear o establecer intervalos, rangos, soluciones o visualizar un problema utilizando la gráfica. Finalmente, establece igualdades, diferencias y modelos matemáticos que permiten transformar un problema de la vida real en símbolos y números para encontrar una posible solución.

Ley de la tricotomía

Esta ley establece comparaciones entre números, variables, ecuaciones y desigualdades. La ley de la tricotomía establece que:

  1. Existe un número real a menor que b, denotado como a<b.
  2. Existe un número real a mayor que b, denotado como a>b.
  3. Existe un número a que es igual que b, denotado como a=b.

Estas comparaciones establecen que un valor es mayor, menor o igual que otro, y permiten saber en la vida real qué persona gana más, o cuál es mayor que otra, además; formar intervalos que pueden ser útiles para crear un rango de valores.

Otros símbolos que hacen comparaciones son:

SímboloSignificado
\neDiferente de
\leMenor o igual que
\geMayor o igual que
\llMucho menor que
\ggMucho mayor que
\simAproximadamente
\simeqAsíntóticamente igual a
\approxCasi igual a o asintótico a
\congAproximadamente igual a
\equivIdéntico a

Ley de la transitividad

Permite transferir relaciones de comparación entre tres elementos, siempre y cuando éstos se encuentren involucrados en la comparación.

Matemáticamente, la transitividad es una relación de un conjunto de elementos, en la cual el elemento a se relaciona con b y b se relaciona con c; por lo tanto, a se relaciona con c; es decir, los elementos del conjunto se encuentran interrelacionados.

Si se combinan las leyes de transitividad y de la tricotomía se puede llegar a las siguientes conclusiones:

  1. Si a<b y b<c por lo tanto a<c.
  2. Si a>b y b>c por lo tanto a>c.
  3. Si a\le b y b \le c por lo tanto a \le c.
  4. Si a \ge b y b \ge c por lo tanto a \ge c.

Cota superior y cota inferior

Sea A \subset \mathbb{R} entonces

  1. Si existe x \in \mathbb{R} tal que a < x para todo a \in A, entonces x se llama una cota superior de A y que el conjunto A está acotado por arriba.
  2. Si existe x \in \mathbb{R} tal que x < a para todo a \in A, entonces x se llama una cota inferior de A y que el conjunto A está acotado por abajo.

Axioma del supremo

El supremo de un conjunto se define de la siguiente manera: sea A \subseteq \mathbb{R} acotado por arriba y que s \in \mathbb{R} (suponiendo) que satisface las siguientes dos condiciones:

  1. s es una cota superior de A.
  2. Si b \in \mathbb{R} es una cota superior de A entonces s \le b.

Entonces s se dice el supremo de A y tiene la propiedad de ser «la menor cota superior».

Este axioma acota un conjunto de datos A en el cual el elemento supremo o cota superior es s, y si existe cualquier otro elemento superior a s entonces será igual a s. Por ejemplo ,si A=\left\{1,2,3,4,5 \right\}, el supremo de este conjunto es 5.

Axioma del ínfimo

El ínfimo de un conjunto se define de esta manera: sea A \subseteq \mathbb{R} acotado por abajo y que i \in \mathbb{R} (suponiendo) que satisface las siguientes dos condiciones:

  1. i es una cota inferior de A.
  2. Si c \in \mathbb{R} es una cota inferior de A entonces c \le i.

Entonces i se dice el ínfimo de A y tiene la propiedad de ser «la mayor cota inferior».

Este axioma acota un conjunto de datos A en el cual el elemento ínfimo o cota inferior es i, y si existe cualquier otro elemento inferior a i entonces será igual a i. Por ejemplo, si A = \left\{-2,-1,0,1,2,3 \right\}, el ínfimo de este conjunto de elementos es -2.

Densidad de los números reales

La densidad es la propiedad de los números reales. Por más cercano esté un par de números reales siempre existe un conjunto infinito de números reales entre ellos.

Dicho de otra forma, entre dos números cualesquiera siempre existirá un número entre ellos.

Propiedades aritméticas

Son el conjunto de propiedades que poseen los números reales y que facilitan al efectuar los cálculos aritméticos e inclusive algebraicos, ya que permiten asociar o separar datos, con los que se puede resolver las operaciones más cómodo.

Propiedad conmutativa

Esta propiedad descarta la importancia del orden en que se colocan los datos en una suma o en una multiplicación. En otras palabras: «el orden de los factores no altera el producto» y «el orden de los sumandos no altera la suma».

  • Suma: A+B=C es igual a B + A = C.
  • Multiplicación: A * B = C es igual que B * A = C.

Propiedad asociativa

Esta propiedad da capacidad a los elementos, ya sean sumandos o factores, de ser agrupados sin alterar el resultado. Esta propiedad aplica para tres o más datos.

Propiedad distributiva

Permite reescribir una expresión en su forma desarrollada o factorizada según se requiera. La propiedad distributiva se puede aplicar a sumas o restas, siempre y cuando haya un factor que se repita.

  • Forma factorizada: X(A+B)
  • Forma desarrollada: (AX + BX)

Elemento neutro

Se denomina neutro a aquel elemento de los números reales que al colocarlo en una operación aritmética no altera resultado. En las operaciones de suma o resta el elemento neutro es el 0, en tanto que en la multiplicación, y en la división es el 1. Esta propiedad es muy útil al momento de reducir algunas expresiones, racionalizar el denominador, o al momento de dividir entre fracciones.

  • Suma o resta: A \pm 0 = A.
  • Multiplicación o división: A(1) = A o \displaystyle \frac{A}{1} = A.

Propiedad del inverso

El inverso neutro es el contrario al elemento neutro; es decir, en la suma existe un número llamado simétrico que, al sumarlo, el resultado dará el elemento neutro, que es el 0, mientras que en la multiplicación existe un recíproco que a multiplicarlo nos dará 1.

  • Suma o resta: A+B=0
  • Multiplicación \displaystyle A \left( \frac{1}{A} \right) = 1

Resumen: axiomas de los números reales

Dados dos números reales cualesquiera a y b se define la suma a+b \in \mathbb{R} y el producto a \cdot b \in \mathbb{R}, que satisfacen los siguientes axiomas.

Axioma 1. Propiedad conmutativa de la sumaa + b = b + a
Axioma 2. Propiedad asociativa de la sumaa + (b+c) = (a+b) + c
Axioma 3. Existencia del neutro aditivoExiste el 0 \in \mathbb{R} tal que a + 0 = a
Axioma 4. Existencia de inversos aditivosPara todo número real a existe -a \in \mathbb{R}, tal que a + (-a) = 0
Axioma 5. Propiedad conmutativa del productoa \cdot b = b \cdot a
Axioma 6. Propiedad asociativa del productoa \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c
Axioma 7. Existencia del neutro multiplicativoExiste el 1 \in \mathbb{R} tal que a \cdot 1 = a
Axioma 8. Existencia de inversos multiplicativosPara todo número real a \ne 0 existe a^{-1} \in \mathbb{R}, tal que a \cdot a^{-1} = 1
Axioma 9. Propiedad distributivaa \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c

Resumen: axiomas de orden en R

Sean a, b \in \mathbb{R}

Axioma 10. Ley de tricotomíaSe cumple una y solo una de las siguientes condiciones: a <b, a=b, a>b

Nota: a>b significa b>a.
Axioma 11. Si a<b, entonces a+c < b+c para cualqueir c \in \mathbb{R}
Axioma 12. Si 0<a y 0 <b entonces 0<ab
Axioma 13. Propiedad de transitividadSi a<b y b<c entonces a<c

Otros axiomas

Axioma 14. Axioma de complitud o completitud1. Todo conjunto no vacío de números reales acotado por arriba tiene un supremo.

2. Todo conjunto no vacío de números reales acotado por abajo tiene un ínfimo.


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