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Contracción de la longitud. Física.

Introducción

A medida que los objetos se desplazan a mayores velocidades relativistas a través del espacio-tiempo, el espacio se contrae y hace que el observador fijo externo vea más cortos los objetos acelerados. en todos los casos, la contracción sólo es en la dirección del movimiento (nunca en la dirección perpendicular). Esto significa que si un objeto se mueve en dirección horizontal, no habrá contracción vertical. En el caso límite en que la nave considerada alcanzara la velocidad de la luz, su longitud sería cero, lo cual es imposible. Por este motivo la luz es el límite superior de velocidad de cualquier objeto en movimiento. Entonces, a velocidades relativistas, una nave acortará su longitud, una regla de metro desplazándose en forma horizontal disminuirá su tamaño y una pelota de fútbol se adelgazará.

Ecuación

La ecuación que permite calcular la longitud es la siguiente

\displaystyle L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}

Donde

  • L es la longitud relativista, en metros (m).
  • L_0 es la longitud del objeto en reposo, en metros (m).
  • v es la velocidad relativista del objeto, en metros por segundo (m/s).
  • c es la velocidad de la luz en kilometros por segundo o metros por segundo (300,000 km/s = 3 \times 10^8 (m/s).

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Cuánto se contraería la longitud si un trasbordador pudiera desarrollar las siguientes velocidades con respecto a la luz (c)?

  • a) 0.87c
  • b) 0.995c

Solucion del a). Tomando la fórmula y sustituyendo

\displaystyle L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}

\displaystyle L = L_0 \sqrt{1 - \frac{(0.87 \ c)^2}{c^2}}

\displaystyle L = L_0 \sqrt{1 - \frac{0.757 \ c^2}{c^2}}

\displaystyle L = L_0 \sqrt{1 - 0.757}

\displaystyle L = L_0 \sqrt{0.243}

\displaystyle L = L_0 (0.5)

\displaystyle L = 0.5 L_0

Solucion del b). Tomando la fórmula y sustituyendo

\displaystyle L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}

\displaystyle L = L_0 \sqrt{1 - \frac{(0.995 \ c)^2}{c^2}}

\displaystyle L = L_0 \sqrt{1 - \frac{0.990 \ c^2}{c^2}}

\displaystyle L = L_0 \sqrt{1 - 0.990}

\displaystyle L = L_0 \sqrt{0.01}

\displaystyle L = L_0 (0.1)

\displaystyle L = 0.1 L_0

La interpretación a lo anterior es que cuando la nave alcanza 87% de la velocidad de la luz (v=0.87c), se contrae a la mitad de su longitud original [L =0.5 L_0], mientras que a 99.5% de la velocidad de la luz (v=0.995c), su longitud es la décima parte de la original [L =0.1 L_0].

La contracción de la longitud les interesará mucho a los viajeros del epacio del futuro, ya que, por ejemplo, el centro de la Vía Láctea está a 25 000 añoz luz [1 año luz = (1 año)(velocidad de la luz)]. Esto significa que al viajar a la velocidad de la luz se tardaría en llegar 25 000 años desde el marco de referencia de la Tierra, pero desde el marco de referencia de los viajeros no sucedería, ya que esa distancia se contraería hasta llegar a no ser distancia; esto es, ellos llegaría en un instante.

Problema 2. Una nave espacial en su base de lanzamiento tiene una longitud de 35 (m). Si se acelera a una velocidad de 0.77c, ¿qué longitud medirá un técnico observador en tierra utilizando los instrumentos adecuados?

Solución. Utilizando la fórmula

\displaystyle L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}

\displaystyle L = (35 \ m) \sqrt{1 - \frac{(0.77c)^2}{c^2}}

\displaystyle L = (35 \ m) \sqrt{1 - \frac{0.593c^2}{c^2}}

\displaystyle L = (35 \ m) \sqrt{1 - 0.593}

\displaystyle L = (35 \ m) \sqrt{0.407}

\displaystyle L = (35 \ m) (0.638)

\displaystyle L = 22.3 \ (m)

La longitud de 22.3 (m) es correcta, ya que a velocidades relativistas el espacio se contrae y hace que un observador fijo externo vea más cortos los objetivos.


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