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Dilatación del tiempo. Física.

Definición

A velocidades relativistas (cercanas a la velocidad de la luz) todos los relojes se retrasan cuando están en movimiento al compararlos con uno que esté en reposos. Este fenómeno no tiene nada que ver con la máquina de los relojes, sino con la naturaleza misma del tiempo.

Ecuación

La ecuación que calcula la dilatación del tiempo se muestra a continuación

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}

Donde

  • t es el tiempo relativo, en segundos (s).
  • v es la rapidez relativista (del marco de referencia que se mueve), en (km/s) o (m/s).
  • t_0 es el tiempo propio (en el marco de referencia que se mueve, en segundos (s).
  • c es la velocidad de la luz, en (km/s) o (m/s); cuyo valor es 300,000 (km/s) = 3 \times 10^8 (m/s).

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Cuánto se dilata el tiempo? Supongamos que un trasbordador pudiera desarrollar, con respecto a la velocidad de la luz (c), las velocidades siguientes:

  • a) 0.5 c
  • b) 0.87 c
  • c) 0.995 c

Solución del a).

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- \frac{(0.5 \ c)^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- \frac{0.25\ c^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- 0.25}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{0.75}}

\displaystyle t = 1.15 \ t_0

\displaystyle t = 1.15 (60 \ s)

\displaystyle \therefore t = 69 \ (s)

Solución del b).

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- \frac{(0.87 \ c)^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- \frac{0.757\ c^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- 0.757}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{0.243}}

\displaystyle t = 2 \ t_0

\displaystyle t = 2 (60 \ s)

\displaystyle \therefore t = 120 \ (s)

Solución del c).

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- \frac{(0.995 \ c)^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- \frac{0.990\ c^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- 0.990}}

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{0.01}}

\displaystyle t = 10 \ t_0

\displaystyle t = 10 (60 \ s)

\displaystyle \therefore t = 600 \ (s)

Su interpretación es que cuando la nave viaja a la mitad de la velocidad de la luz (v= 0.5 \ c), el observador externo fijo ve que el reloj colocado dentro de ella tarda 69 (s) en dar una vuelta completa (se alarga el tiempo), mientras que para los tripulantes de la misma la vuelta seguirá cubriéndose en 60 segundos. Cuando la velocidad es de 87% de la velocidad de la luz (v=0.87 \ c), el observador externo fijo mide que el reloj en movimiento tarda 120 segundos para que el segundero dé una vuelta completa (se alarga el tiempo), por lo que verá en cámara lenta lo que sucede dentro de la nave. Cuando la nave alcance una velocidad igual a 99.5% de la velocidad de la luz (v=0.995 \ c), el observador externo notará que el segundero de la nave tardará 10 minutos [600 (s)] en dar una vuelta completa; esto es, el reloj de la nave le parece lentificado 10 veces; avanza seis segundos en el tiempo en que el reloj del observado fijo externo da 60 segundos. En consecuencia, cuanto más rápidamente se mueva el reloj, a un observador inmóvil en otro sistema de referencia le parecerá que se atrasa más. Asimismo, si pasa el reloj frente a él a la velocidad de la luz, pensaría que no se mueve, aunque si el observador fijo pudiera moverse a la misma velocidad del trasbordador, notaría que el reloj del interior no sufre ningún retraso.

En la tierra se ha confirmado la dilatación del tiempo en aceleradores de partículas, en los que la vida media de las partículas radiactivas aumentan, aunque también se ha confirmado en movimientos no tan rápidos, como en 1971, cuando para probar la teoría de Einstein se colocaron relojes atómicos en vuelos comerciales normales que dieron la vuelta a la tierra, uno hacia el oriente y otro hacia el poniente. Los relojes mostraron diferencias de millonésimas de segundos después de terminar su recorrido, respecto a los relojes dejados en tierra.

La noción de la dilatación del tiempo explica el caso de dos personas de la misma edad, una que se queda en tierra y envejece de forma normal y otra que viaja a grandes velocidades por el espacio y que envejece mucho más lentamente debido a que su cronómetro interno, las pulsasiones del corazón y todos sus procesos vitales se llevan a cabo más despacio. Así, cuando regresa el viajero será más joven que el que se quedó en la tierra. ¿Qué tan joven? Depende de la velocidad a la que se movió. Por ejemplo, si lo hizo a una velocidad de 0.5 c (a la mitad de la velocidad de la luz) y la mantuvo durante un año según los relojes de abordo, entonces en la Tierra pasarán 1.15 años [t=1.15 \ t_0]; revisa los cálculos que se hicieron al inicio de este apartado. A una velocidad de 0.87 c durante un año, según los relojes de abordo, en la Tierra pasarán dos años [t=2t_0]. Pero si se desplaza a una velocidad de 0.995 la velocidad de la luz durante un año espacial, transcurrirán 10 años terrestres, de forma tal que el viajero envejecería un año, mientras que el de la Tierra 10 [t=10 t_0].

Problema 2. Los tripulantes de una nave espacial que se desplaza a una velocidad relativista de 0.6 c (0.6 la velocidad de la luz) indican a su base en tierra que dormirán una hora para reponer fuerzas. ¿Qué tiempo dura el descanso para los responsables de la misión en tierra?

Solución. Tomando la fórmula

\displaystyle t = \frac{t_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{1 \ (hr)}{\sqrt{1- \frac{(0.6 \ c)^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{1 \ (hr)}{\sqrt{1- \frac{0.36 \ c^2}{c^2}}}

\displaystyle t = \frac{1 \ (hr)}{\sqrt{1-0.36}}

\displaystyle t = \frac{1 \ (hr)}{\sqrt{0.64}}

\displaystyle t = \frac{1 \ (hr)}{0.8}

\displaystyle t = 1.25 \ (hrs)

Este resultado es correcto, ya que para un observador fuera de la nave el tiempo transcurre más lentamente.


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