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Espejo esférico cóncavo. Física.

Definición

Un espejo esférico es cóncavo cuando los rayos luminosos son reflejados por la parte interior. Se usan por ejemplo e microscopios, telescopios, cámaras fotográficas y proyectores de transparencias para concentrar la imagen o luz en un punto. Estos espejos son también convergentes.

Figura 1. Representación del espejo esférico cóncavo.
Figura 2. Comportamiento de los rayos en espejo esférico cóncavo.

Formación de imágenes en espejos esféricos cóncavos

Las imágenes observadas en los espejos esféricos cóncavos dependen de la posición en las que se coloque el objeto, pero es indispensable que se corten por lo menos dos rayos reflejados enviados desde dos puntos extremos del objeto, lo cual dará origen a imágenes virtuales o reales. Se presentan cinco casos:

Primer caso. Objeto colocado después del centro de curvatura

La imagen que se obtiene al colocar el objeto después del centro de curvatura es real, invertida, de menor tamaño que la original y se localiza entre el foco y el centro de curvatura.

Figura 3. Representando el primer caso de la formación de imágenes en espejos esféricos cóncavos.

Segundo caso. Objeto colocado en el centro de curvatura

La imagen que se obtiene al colocar el objeto en el centro de curvatura es real, invertida, de igual tamaño que la original y localizada en el mismo centro de curvatura.

Figura 4. Representando el segundo caso de la formación de imágenes en espejos esféricos cóncavos.

Tercer caso. Objeto colocado entre el foco y el centro de curvatura

La imagen que se obtiene al colocar el objeto entre el centro de curvatura y el foco del espejo es real, invertida, mayor que la original y formada después del centro de curvatura.

Figura 5. Representando el tercer caso de la formación de imágenes en espejos esféricos cóncavos.

Cuarto caso. Objeto colocado en el foco del espejo

La imagen no se forma cuando se coloca el objeto en el foco, debido a que no se cumple el requisito fundamental para la formación de imágenes, que se corten por lo menos dos rayos reflejados enviados desde dos puntos extremos del objeto.

Figura 6. Representando el cuarto caso de la formación de imágenes en espejos esféricos cóncavos.

Quinto caso. Objeto colocado entre espejo y foco

La imagen obtenida al colocar el objeto entre el foco y el vértice es virtual, de mayor tamaño que la original, derecha y formada detrás del espejo. Por tanto, dependiendo de la distancia que exista entre el objeto y espejo cóncavo, la imagen real podrá ser mayor o menor.

Figura 7. Representando el quinto caso de la formación de imágenes en espejos esféricos cóncavos.
Figura 8. Tamaño de imagen real según posición.

Aplicaciones de espejos esféricos cóncavos

Como los espejos esféricos cóncavos concentra los rayos luminosos se utilizan en linternas de mano, en reflectores, faros de automóvil, dentistas que los introducen en la boca a sus pacientes. También en los telescopios reflectores para reflejar los rayos luminosos y concentrarlos en un punto, y con la ayuda de un espejo secundario, desviarlos para que la imagen real se forme fuera. Con estos últimos instrumentos ha sido posible descubrir estrellas, galaxias y nebulosas muy distantes.

Figura 9. Telescopio reflector.
Figura 10. Reflector parabólico cóncavo solar.

Una aplicación a nivel industrial es concentrar los rayos de luz sobre su foco, en el cual se coloca un recipiente que concentra todos los rayos solares y que como alcanza temperaturas muy altas, funde diversas sustancias, como metales. Otro uso es hacer pasar por este punto un líquido como agua que circula por el interior de un tubo ennegrecido. El agua se calienta a muy altas temperaturas y desprende vapor, que al ser acoplado a un generador produce electricidad.

También en los hogares puede usarse para calentar agua. Los espejos esféricos cóncavos también se usan para percibir detalles en la cara, como en peluquerías y centros de maquillaje, gracias a que amplían mucho la imagen.

Distancia entre la imagen y el espejo esférico

La ecuación que calcula la distancia entre la imagen y el espejo esférico cóncavo es

\displaystyle \frac{1}{d_{oE}} + \frac{1}{d_{iE}} = \frac{1}{d_F}

Donde:

  • d_{oE} es la distancia del objeto al espejo, en metros (m).
  • d_{iE} es la distancia de la imagen al espejo, en metros (m).
  • d_{F} es la distancia focal, en metros (m).

Aumento de la imagen

El tamaño de la imagen de un objeto puede ser mayor o menor, ello dependerá de la posición donde sea colocado. A la relación del tamaño de la imagen y el tamaño del objeto se le denomina aumento o ampliación.

\displaystyle A = \frac{\mathrm{Tamanio \ de \ la \ imagen}}{\mathrm{Tamanio \ del \ objeto}}

Un número inferior a 1 indica que la imagen formada es menor que la del objeto y, por tanto, se presenta una reducción. Por el contrario, si el número es mayor a 1, se da un incremento en el tamaño de la imagen. Un aumento igual a 2 significa que la imagen es dos veces mayor que el objeto, y si es igual a 0.25 (1/4) indica que la imagen es cuatro veces más pequeña que el objeto.

La ecuación para calcular el aumento de la imagen se aplica a espejos cóncavos y convexos, lentes convergentes y divergentes. Junto con otros parámetros, se utiliza para fabricarlos con características tales que permitan reflejar la imagen a cierta distancia, aumentarla o disminuirla en cierta proporción; por ejemplo, que se forme antes o delante de la retina del ojo.

\displaystyle A = \frac{d_{iE}}{d_{oE}}\displaystyle A = \frac{h_i}{h_o}
Donde: Donde :
A es el aumento de la imagen.
d_{oE} es la distancia del objeto al espejo, en metros (m).
d_{iE} es la distancia de la imagen al espejo, en metros (m).
A es el aumento de la imagen.
h_i es la altura de la imagen, en metros (m).
h_o es la altura del objeto, en metros (m).

Problemas resueltos

Problema 1. Un objeto de 4 (cm) de altura se coloca a 15 (cm) de un espejo esférico cóncavo. Si la imagen formada se localiza a 22.5 (cm) de éste, ¿qué altura tiene?

Figura 11.

Solución. Primero se determina el aumento de la imagen utilizando la fórmula (donde toma en cuenta las distancias)

\displaystyle A = \frac{d_{iE}}{d_{oE}}

Sustituyendo

\displaystyle A = \frac{22.5 \ (cm)}{15 \ (cm)}

\displaystyle A = 1.5

Ahora nuevamente tomando la fórmula del aumento de la imagen (donde toma en cuenta las alturas)

\displaystyle A = \frac{h_i}{h_o}

Se despeja h_i

\displaystyle h_i = A \cdot h_o

Y sustituyendo

\displaystyle h_i = (1.5)(4 \ cm)

\displaystyle \therefore h_i = 6 \ (cm)

Problema 2. Un objeto de 5 (cm) de altura se coloca a 10 (cm) e un espejo esférico cóncavo. Si éste presenta una distancia focal de 25 (cm), calcular respecto a la imagen:

  • a) La distancia a la que se forma.
  • b) El aumento que tiene.
  • c) Su altura.
  • d) Las características principales que presenta.
Figura 12.

Solución del a). Tomando la fórmula

\displaystyle \frac{1}{d_{oE}} + \frac{1}{d_{iE}} = \frac{1}{d_F}

Despejando d_{iE}

\displaystyle \frac{1}{d_{iE}} = \frac{1}{d_F} - \frac{1}{d_{oE}}

\displaystyle d_{iE} = \frac{1}{\frac{1}{d_F} - \frac{1}{d_{oE}}}

Sustituyendo

\displaystyle d_{iE} = \frac{1}{\frac{1}{25 \ (cm)} - \frac{1}{10 \ (cm)}}

\displaystyle \therefore d_{iE} = - 16.6 \ (cm)

El signo negativo indica que la imagen se forma detrás del espejo.

Solución del b). Se calcula el aumento donde toma en cuenta las distancias.

\displaystyle A = \frac{d_{iE}}{d_{oE}}

Sustituyendo

\displaystyle A = \frac{16.66 \ (cm)}{10 \ (cm)}

\displaystyle A = 1.66 \ (cm)

Esta fórmula no toma en cuenta el signo.

Solución del c). Se calcula la altura tomando la fórmula del aumento (donde considere las alturas).

\displaystyle A = \frac{h_i}{h_o}

Despejando la altura h_i

\displaystyle h_i = A \cdot h_o

Sustituyendo

\displaystyle h_i = (1.66) \cdot (5\ cm)

\displaystyle \therefore h_i = 8.3 \ (cm)

Solución del d). Las características principales que presenta son

  • El objeto está entre el vértice y el foco.
  • La imagen es 1.66 veces mayor que la del objeto que la produce.
  • La imagen es virtual.
  • La imagen se forma detrás del espejo.
  • La imagen es derecha.
  • Se trata del quinto caso de espejos esféricos cóncavos.

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