Circuitos integrador y derivador. Amplificadores operacionales. Circuitos eléctricos.

Integrador

El circuito integrador contiene un capacitor conectado en la realimentación del amplificador inversor (figura 1).

Aplicando la LKC en el nodo B,

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{i_j} = 0$

$\displaystyle \frac{v_1}{R} + C \frac{dv_2}{dt} = 0$

Despejando $v_2$ , resulta

$\displaystyle C \frac{dv_2}{dt} = - \frac{v_1}{R}$

$\displaystyle \frac{dv_2}{dt} = - \frac{v_1}{RC}$

$\displaystyle dv_2 (t) = - \frac{v_1 (t)}{RC} \ dt$

$\displaystyle \int_{-\infty}^{t}{dv_2 (x)} = - \int_{-\infty}^{t}{\frac{v_1 (x)}{RC} \ dx}$

$\displaystyle \int_{-\infty}^{t}{dv_2 (x)} = - \frac{1}{RC} \int_{-\infty}^{t}{v_1 (x) \ dx}$

$\displaystyle v_2 (t) = - \frac{1}{RC} \int_{-\infty}^{t}{v_1 (x) \ dx}$

Por lo que la salida es igual a la integral de la entrada multiplicada por un factor de ganancia de valor $- 1/RC$ .

Integrador con descarga (leaky)

El circuito de la figura 2 se denomina integrador con descarga, ya que el voltaje del capacitor está continuamente descargándose a través de la resistencia de realimentación $R_f$ . Esto producirá una reducción en la ganancia $|v_2/v_1|$ y un desfase en $v_2$ .

Figura 2. Circuito leaky (integrador con descarga).

Amplificador sumador de integrales

Un simple amplificador operacional en configuración inversora con muchas entradas y un capacitor de realimentación (figura 3) puede hacer la suma de las integrales de varias funciones con una ganancia determinada.

Si se desea obtener su salida, solo basta con utilizar LKC y despejar $v_o$ .

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{i_j} = 0$

$\displaystyle \frac{v_1}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} + \frac{v_3}{R_3} + C \frac{dv_o}{dt} = 0$

$\displaystyle C \frac{dv_o}{dt} = - \left(\frac{v_1}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} + \frac{v_3}{R_3} \right)$

$\displaystyle \frac{dv_o}{dt} = - \frac{1}{C} \left(\frac{v_1}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} + \frac{v_3}{R_3} \right)$

$\displaystyle \frac{dv_o}{dt} = - \left(\frac{v_1}{R_1 C} + \frac{v_2}{R_2 C} + \frac{v_3}{R_3 C} \right)$

$\displaystyle dv_o = - \left(\frac{v_1}{R_1 C} + \frac{v_2}{R_2 C} + \frac{v_3}{R_3 C} \right) dt$

$\displaystyle \int_{-\infty}^{t}{d v_o} = - \int_{-\infty}^{t}{\left(\frac{v_1}{R_1 C} + \frac{v_2}{R_2 C} + \frac{v_3}{R_3 C} \right) \ dx}$

$\displaystyle v_o = - \int_{-\infty}^{t}{\left(\frac{v_1}{R_1 C} + \frac{v_2}{R_2 C} + \frac{v_3}{R_3 C} \right) \ dx}$

Condiciones iniciales de integración

La condición inicial que se desee para $v_o$ puede obtenerse mediante un interruptor puesta a cero (figura 4). Si se conecta momentáneamente el interruptor y se desconecta para $t=t_0$ , se tiene entonces un valor de $v_o$ en el capacitor y aparece una salida para $v_2$ . Para $t>0$ , la integral de la entrada se suma a la salida, resultando:

$\displaystyle v_2 = v_o - \frac{1}{RC} \int_{t_o}^{t}{v_1 \ dt}$

Derivador

Insertando un inductor en la realimentación de un amplificador operacional circuito inversor se obtiene a la salida la derivada de la señal de entrada. La figura 5 muestra el circuito derivador.

Para obtener la salida $v_2$ , solo basta con utilizar la LKC.

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{i_j} = 0$

$\displaystyle \frac{v_1}{R} + \frac{1}{L} \int_{- \infty}^{t}{v_2 \ dx} = 0$

$\displaystyle \frac{1}{L} \int_{- \infty}^{t}{v_2 \ dx} = - \frac{v_1}{R}$

$\displaystyle \int_{- \infty}^{t}{v_2 \ dx} = - \frac{L}{R} v_1$

Derivando con respecto a $t$ , resulta

$\displaystyle \frac{d}{dt} \left[ \int_{- \infty}^{t}{v_2 \ dx} \right] = - \frac{L}{R} \frac{d}{dt} (v_1)$

$\displaystyle v_2 = - \frac{L}{R} \frac{dv_1}{dt}$

Problemas resueltos

Problema 1. En la figura 6 se tiene un circuito integrador. Si $v_1 = \sin{2000 t}$ y $v_2 (0) = 0$ , calcular $v_2 (t)$ para $t>0$ .

Solución. Tomando la fórmula siguiente

$\displaystyle v_2 (t) = - \frac{1}{RC} \int_{-\infty}^{t}{v_1 (x) \ dx}$

Sustituyendo, resulta que

$\displaystyle v_2 (t) = - \frac{1}{(1 \ \text{k})(1 \ \mu)} \int_{-\infty}^{t}{v_1 (x) \ dx}$

$\displaystyle v_2 (t) = - \frac{1}{(1 \times 10^{3})(1 \times 10^{-6})} \int_{-\infty}^{t}{v_1 (x) \ dx}$

$\displaystyle v_2 (t) = - \frac{1}{1 \times 10^{-3}} \int_{-\infty}^{t}{v_1 (x) \ dx} = - 1 \times 10^{3} \int_{-\infty}^{t}{v_1 (x) \ dx}$

$\displaystyle v_2 (t) = - 1000 \int_{-\infty}^{t}{v_1 (x) \ dx}$

$\displaystyle v_2 (t) = - 1000 \left[ \int_{-\infty}^{0}{v_1 (x) \ dx} + \int_{0}^{t}{v_1 (x) \ dx} \right]$

$\displaystyle v_2 (t) = - 1000 \left[ \int_{-\infty}^{0}{0 \ dx} + \int_{0}^{t}{\sin{2000x} \ dx} \right]$

$\displaystyle v_2 (t) = - 1000 \left[0 - \frac{1}{2000} (\cos{2000t} -1) \right] = \frac{1000}{2000} (\cos{2000t} - 1)$

$\displaystyle \therefore v_2 (t) = \frac{1}{2} (\cos{2000t} - 1) \ \text{V}$

Problema 2. En la figura 7, calcular $v_2$ si $v_1 = \sin{2000t}$ .

Solución. Aplicando la LKC en el nodo inversor (nodo B), se tiene lo siguiente

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{i_j} = 0$

$\displaystyle \frac{v_1}{1 \ \text{k}} + (1 \ \mu) \frac{dv_2}{dt} + \frac{v_2}{1 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle v_1 + (1 \ \text{k})(1 \ \mu) \frac{dv_2}{dt} + v_2 = 0$

$\displaystyle v_1 + (1 \times 10^{-3}) \frac{dv_2}{dt} + v_2 = 0$

$\displaystyle \sin{2000t} + (1 \times 10^{-3}) \frac{dv_2}{dt} + v_2 = 0$

$\displaystyle (1 \times 10^{-3}) \frac{dv_2}{dt} + v_2 = - \sin{2000t}$

$\displaystyle \frac{dv_2}{dt} + \frac{1}{1 \times 10^{-3}} v_2 = - \frac{1}{1 \times 10^{-3}} \sin{2000t}$

$\displaystyle \frac{dv_2}{dt} + 1000 v_2 = - 1000 \sin{2000t}$

La función de $v_2$ deberá ser sinusoidal, donde tendrá la misma frecuencia que $v_1$ pero con diferente amplitud y ángulo de fase, es decir,

$\displaystyle v_2 = A \cos{(2000t + B)}$

Para obtener los valores de los coeficientes A y B, la expresión anterior debe derivarse una vez con respecto a $t$ .

$\displaystyle \frac{dv_2}{dt} = \frac{d}{dt} \left[A \cos{(2000t + B)} \right]$

$\displaystyle \frac{dv_2}{dt} = - 2000 A \sin{(2000t + B)}$

Sustituyendo en la ecuación diferencial, resulta

$\displaystyle \frac{dv_2}{dt} + 1000 v_2 = - 1000 \sin{2000t}$

$\displaystyle - 2000 A \sin{(2000t + B)} + 1000 A \cos{(2000t + B)} = - 1000 \sin{2000t}$

$\displaystyle 2000 A \sin{(2000t + B)} - 1000 A \cos{(2000t + B)} = 1000 \sin{2000t}$

$\displaystyle \sqrt{(2000A)^2 + (-1000A)^2} \sin{\left(2000t + B - \tan^{-1}{\frac{1000}{2000}} \right)} = 1000 \sin{2000t}$

$\displaystyle \sqrt{5000000} A \sin{\left(2000t + B - 26.57 \textdegree \right)} = 1000 \sin{2000t}$

$\displaystyle 1000 \sqrt{5} A \sin{\left(2000t + B - 26.57 \textdegree \right)} = 1000 \sin{2000t}$

Por igualación, se tiene que

$\displaystyle 1000 \sqrt{5} A = 1000 \rightarrow A = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\displaystyle 2000t + B - 26.57 \textdegree = 2000t \rightarrow B = 26.57 \textdegree$

Finalmente,

$\displaystyle v_2 = A \cos{(2000t + B)}$

$\displaystyle \therefore v_2 = \frac{\sqrt{5}}{5} \cos{(2000t + 26.57 \textdegree)} \ \text{V}$

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Publicado por Cesar Reyes

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