Circuitos con varios amplificadores operacionales. Circuitos eléctricos.

El análisis y los resultados obtenidos para el caso de circuitos con un solo amplificador operacional pueden aplicarse al caso de tener varios amplificadores operacionales ideales conectados en cascada o en lazos interconectados, ya que no hay efectos de carga.

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular $V_1$ y $V_2$ en la figura 1.

El primer amplificador operacional se trata de un circuito inversor. Calculando $V_1$ , resulta

$\displaystyle \frac{V_s}{V_1} = - \frac{R_2}{R_1}$

$\displaystyle V_1 = - \left(\frac{R_2}{R_1} \right) V_s$

$\displaystyle V_1 = - \left(\frac{3 \ \text{k}}{1 \ \text{k}} \right) (-0.6)$

$\displaystyle \therefore V_1 = 1.8 \ \text{V}$

Figura 2. Estudio del primer amplificador.

El segundo amplificador operacional es un sumador. Determinando $V_2$ resulta

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{I_j} = 0$

$\displaystyle \frac{v_- - V_1}{2 \ \text{k}} + \frac{v_- - 0.5}{1 \ \text{k}} + \frac{v_- - V_2}{2 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \frac{0 - V_1}{2 \ \text{k}} + \frac{0 - 0.5}{1 \ \text{k}} + \frac{0 - V_2}{2 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle - \frac{V_1}{2 \ \text{k}} - \frac{0.5}{1 \ \text{k}} - \frac{V_2}{2 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle - V_1 - (2)(0.5) -V_2 = 0$

$\displaystyle - 1.8 - 1 -V_2 = 0$

$\displaystyle - 2.8 - V_2 = 0$

$\displaystyle \therefore V_2 = - 2.8 \ \text{V}$

Figura 3. Estudio del segundo amplificador.

Problema 2. Suponiendo que $R_s = 1 \ \text{k} \Omega$ en el circuito de la figura 4, calcular $V_1$ , $V_2$ , $V_o$ , $I_s$ , $I_1$ e $I_f$ en función de $V_s$ para

a) $R_f = \infty$
b) $R_f = 40 \ \text{k} \Omega$

Solución del a). Cuando $R_f = \infty$ .

*Figura 5. Cuando Rf = ∞, se tienen dos circuitos inversores.*

En la figura 5, se observa que ambos amplificadores son circuitos inversores y están en cascada, donde $v_+ = 0 \ \text{V}$ . Además,

$\therefore I_f = 0 \ \text{A}$

En la figura 6, por división de voltaje, el valor de $V_1$ es

$\displaystyle V_1 = \left( \frac{5 \ \text{k}}{R_s + 5 \ \text{k}} \right) V_s$

$\displaystyle V_1 = \left( \frac{5 \ \text{k}}{1 \ \text{k} + 5 \ \text{k}} \right) V_s = \left( \frac{5 \ \text{k}}{6 \ \text{k}} \right) V_s$

$\displaystyle \therefore V_1 = \frac{5}{6} V_s$

El voltaje $V_2$ es

$\displaystyle \frac{V_2}{V_1} = - \frac{R_2}{R_1}$

$\displaystyle V_2 = - \left(\frac{R_2}{R_1} \right) V_1$

$\displaystyle V_2 = - \left(\frac{9 \ \text{k}}{5 \ \text{k}} \right) V_1$

$\displaystyle V_2 = - \frac{9}{5} V_1$

Sustituyendo el equivalente de $V_1$

$\displaystyle V_2 = - \frac{9}{5} \left(\frac{5}{6} V_s \right)$

$\displaystyle V_2 = - \frac{9}{6} V_s$

$\displaystyle \therefore V_2 = - \frac{3}{2} V_s$

La corriente $I_1$ es

$\displaystyle I_1 = \frac{V_s}{R_s + 5 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_1 = \frac{V_s}{1 \ \text{k} + 5 \ \text{k}} = \frac{V_s}{6 \ \text{k}}$

$\displaystyle \therefore I_1 = \frac{V_s}{6000}$

La corriente $I_s$ es

$\displaystyle I_s = I_1$

$\displaystyle \therefore I_s = \frac{V_s}{6000}$

Figura 6. Análisis de la fuente y del primer amplificador *cuando Rf = ∞*.

Con el apoyo de la figura 7, el $V_o$ es

$\displaystyle \frac{V_o}{V_2} = - \frac{6 \ \text{k}}{1.2 \ \text{k}}$

$\displaystyle V_o = - 5 V_2$

$\displaystyle V_o = - 5 \left( - \frac{3}{2} V_s \right)$

$\displaystyle \therefore V_o = \frac{15}{2} V_s$

Figura 7. Análisis del segundo amplificador cuando Rf = ∞.

Finalmente, lo resultados solicitados son: $\displaystyle V_1 = \frac{5}{6} V_s$ , $\displaystyle V_2 = - \frac{3}{2} V_s$ , $\displaystyle V_o = \frac{15}{2} V_s$ , $\displaystyle I_s = \frac{V_s}{6000}$ , $\displaystyle I_1 = \frac{V_s}{6000}$ y $I_f = 0 \ \text{A}$ .

Solución del b). Cuando $R_f = 40 \ \text{k} \Omega$ .

En este caso, se tendría el circuito de la figura 4 (nuevamente se muestra en la figura 8), que serían dos circuitos inversores.

Figura 8. Cuando Rf = 40 kΩ, se tienen dos circuitos inversores.

Estudiando el primer amplificador, el voltaje $V_2$ es

$\displaystyle \frac{V_2}{V_1} = - \frac{9 \ \text{k}}{5 \ \text{k}}$

$\displaystyle V_2 = - \frac{9}{5} V_1$

En el segundo amplificador, el voltaje $V_o$ es

$\displaystyle \frac{V_o}{V_2} = - \frac{6 \ \text{k}}{1.2 \ \text{k}}$

$\displaystyle V_o = - 5 V_2$

$\displaystyle V_o = - 5 \left(- \frac{9}{5} V_1 \right)$

$\displaystyle V_o = 9 V_1$

Basándose en la figura 4, aplicando la LKC en el nodo B, se tiene que

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{I_j} = 0$

$\displaystyle \frac{V_B - V_s}{1 \ \text{k}} + \frac{V_B - V_o}{R_f} + \frac{V_B - v_-}{5 \ \text{k}} = 0$

Recordando que $v_- = 0 \ \text{V}$ , $\displaystyle V_o = 9 V_1$ , $R_f = 40 \ \text{k} \Omega$ y $V_B = V_1$ , resulta

$\displaystyle \frac{V_1 - V_s}{1 \ \text{k}} + \frac{V_1 - 9 V_1}{40 \ \text{k}} + \frac{V_1 - 0}{5 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \frac{V_1 - V_s}{1 \ \text{k}} - \frac{8 V_1}{40 \ \text{k}} + \frac{V_1}{5 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \frac{V_1}{1 \ \text{k}} - \frac{V_s}{1 \ \text{k}} - \frac{V_1}{5 \ \text{k}} + \frac{V_1}{5 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \left(\frac{1}{1 \ \text{k}}\right) V_1 - \frac{V_s}{1 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \left(\frac{1}{1 \ \text{k}} \right) V_1 = \frac{V_s}{1 \ \text{k}}$

$\displaystyle V_1 = V_s$

Recordando la ecuación obtenida de $V_2$ , al sustituir con $V_1$ , resulta

$\displaystyle V_2 = - \frac{9}{5} V_s$

En el caso de $V_o$ ,

$\displaystyle V_o = 9 V_s$

La corriente $I_s$ es

$\displaystyle I_s = \frac{V_s - V_1}{1 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_s = \frac{V_s - V_s}{1 \times 10^3}$

$\displaystyle I_s = 0 \ \text{A}$

La corriente $I_1$ es

$\displaystyle I_1 = \frac{V_1}{5 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_1 = \frac{V_s}{5 \times 10^3} \ \text{A}$

Y la corriente $I_f$ es

$\displaystyle I_f = I_1$

$\displaystyle I_f = \frac{V_s}{5 \times 10^3} \ \text{A}$

Cuando $R_f = 40 \ \text{k} \Omega$ la corriente $I_1$ en la resistencia de entrada de $5 \ \text{k} \Omega$ del primer amplificador operacional es proporcionada por la salida del segundo amplificador operacional a través de la resistencia de realimentación de $40 \ \text{k} \Omega$ . La corriente $I_s$ procedente de $V_s$ es, por tanto, cero. La resistencia de entrada del circuito es infinita.

Finalmente, lo resultados solicitados son: $\displaystyle V_1 = V_s$ , $\displaystyle V_2 = - \frac{9}{5} V_s$ , $\displaystyle V_o = 9 V_s$ , $\displaystyle I_s = 0 \ \text{A}$ , $\displaystyle I_1 = \frac{V_s}{5 \times 10^3} \ \text{A}$ y $I_f = \frac{V_s}{5 \times 10^3} \ \text{A}$ .

Problema 3. Calcular $v_o$ en el circuito de la figura 9.

Solución. El primer amplificador operacional es un circuito inversor,

$\displaystyle \frac{v_3}{v_2} = - \frac{R}{R}$

$\displaystyle \frac{v_3}{v_2} = - 1$

$\displaystyle v_3 = - v_2$

Figura 10. Análisis del primer amplificador operacional.

El segundo amplificador operacional se trata de un circuito sumador. Entonces

$\displaystyle v_o = - \left(\frac{R_2}{R_1} v_3 + \frac{R_2}{R_1} v_1 \right)$

$\displaystyle v_o = - \frac{R_2}{R_1} \left(v_3 + v_1 \right)$

Figura 11. Análisis del segundo amplificador operacional.

Recordando que $v_3 = - v_2$

$\displaystyle v_o = - \frac{R_2}{R_1} \left(- v_2 + v_1 \right)$

$\displaystyle \therefore v_o = \frac{R_2}{R_1} \left(v_2 - v_1 \right)$

Problema 4. En el circuito de la figura 12 calcular $v_o$ .

Solución. En el primer amplificador operacional (lado izquierdo, figura 13) se trata de un circuito no inversor. Entonces

$\displaystyle \frac{v_3}{v_1} = 1+ \frac{R_1}{R_2}$

$\displaystyle v_3 = \left(1+ \frac{R_1}{R_2} \right) v_1$

Figura 13. Análisis del primer amplificador operacional.

En el caso del segundo amplificador, se analizará por LKC en el nodo de la entrada inversora.

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{i_j} = 0$

$\displaystyle \frac{v_- - v_3}{R_1} + \frac{v_- - v_o}{R_2} = 0$

En este caso se observa que en el nodo de la entrada inversora $v_- = v_2$ , así

$\displaystyle \frac{v_2 - v_3}{R_1} + \frac{v_2 - v_o}{R_2} = 0$

Figura 14. Análisis del segundo amplificador operacional.

Continuando

$\displaystyle \frac{v_2}{R_1} - \frac{v_3}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} - \frac{v_o}{R_2} = 0$

$\displaystyle \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 - \frac{v_3}{R_1} - \frac{v_o}{R_2} = 0$

Recordando que $v_3$ es $\displaystyle \left(1+ \frac{R_1}{R_2} \right) v_1$

$\displaystyle \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 - \frac{\left(1+ \frac{R_1}{R_2} \right) v_1}{R_1} - \frac{v_o}{R_2} = 0$

$\displaystyle \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 - \frac{1}{R_1} \left(1+ \frac{R_1}{R_2} \right) v_1 - \frac{v_o}{R_2} = 0$

$\displaystyle \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 - \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_1 - \frac{v_o}{R_2} = 0$

$\displaystyle - \frac{v_o}{R_2} = - \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 + \left(\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2} \right) v_1$

$\displaystyle v_o = (- R_2) \left[- \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 + \left(\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2} \right) v_1 \right]$

$\displaystyle v_o = R_2 \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 - R_2 \left(\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2} \right) v_1$

$\displaystyle v_o = \left(\frac{R_2}{R_1} + 1 \right) v_2 - \left(\frac{R_2}{R_1} + 1 \right) v_1$

$\displaystyle \therefore v_o = \left(\frac{R_2}{R_1} + 1 \right) (v_2 - v_1)$

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Publicado por Cesar Reyes

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