circuitos eléctricos

Circuitos con varios amplificadores operacionales. Circuitos eléctricos.

El análisis y los resultados obtenidos para el caso de circuitos con un solo amplificador operacional pueden aplicarse al caso de tener varios amplificadores operacionales ideales conectados en cascada o en lazos interconectados, ya que no hay efectos de carga.

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular V_1 y V_2 en la figura 1.

Figura 1. Circuito del problema 1.

El primer amplificador operacional se trata de un circuito inversor. Calculando V_1, resulta

\displaystyle \frac{V_s}{V_1} = - \frac{R_2}{R_1}

\displaystyle V_1 = - \left(\frac{R_2}{R_1} \right) V_s

\displaystyle V_1 = - \left(\frac{3 \ \text{k}}{1 \ \text{k}} \right) (-0.6)

\displaystyle \therefore V_1 = 1.8 \ \text{V}

Figura 2. Estudio del primer amplificador.

El segundo amplificador operacional es un sumador. Determinando V_2 resulta

\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{I_j} = 0

\displaystyle \frac{v_- - V_1}{2 \ \text{k}} + \frac{v_- - 0.5}{1 \ \text{k}} + \frac{v_- - V_2}{2 \ \text{k}} = 0

\displaystyle \frac{0 - V_1}{2 \ \text{k}} + \frac{0 - 0.5}{1 \ \text{k}} + \frac{0 - V_2}{2 \ \text{k}} = 0

\displaystyle - \frac{V_1}{2 \ \text{k}} - \frac{0.5}{1 \ \text{k}} - \frac{V_2}{2 \ \text{k}} = 0

\displaystyle - V_1 - (2)(0.5) -V_2 = 0

\displaystyle - 1.8 - 1 -V_2 = 0

\displaystyle - 2.8 - V_2 = 0

\displaystyle \therefore V_2 = - 2.8 \ \text{V}

Figura 3. Estudio del segundo amplificador.

Problema 2. Suponiendo que R_s = 1 \ \text{k} \Omega en el circuito de la figura 4, calcular V_1, V_2, V_o, I_s, I_1 e I_f en función de V_s para

  • a) R_f = \infty
  • b) R_f = 40 \ \text{k} \Omega
Figura 4. Circuito del problema 2.

Solución del a). Cuando R_f = \infty.

Figura 5. Cuando Rf = ∞, se tienen dos circuitos inversores.

En la figura 5, se observa que ambos amplificadores son circuitos inversores y están en cascada, donde v_+ = 0 \ \text{V}. Además,

\therefore I_f = 0 \ \text{A}

En la figura 6, por división de voltaje, el valor de V_1 es

\displaystyle V_1 = \left( \frac{5 \ \text{k}}{R_s + 5 \ \text{k}} \right) V_s

\displaystyle V_1 = \left( \frac{5 \ \text{k}}{1 \ \text{k} + 5 \ \text{k}} \right) V_s = \left( \frac{5 \ \text{k}}{6 \ \text{k}} \right) V_s

\displaystyle \therefore V_1 = \frac{5}{6} V_s

El voltaje V_2 es

\displaystyle \frac{V_2}{V_1} = - \frac{R_2}{R_1}

\displaystyle V_2 = - \left(\frac{R_2}{R_1} \right) V_1

\displaystyle V_2 = - \left(\frac{9 \ \text{k}}{5 \ \text{k}} \right) V_1

\displaystyle V_2 = - \frac{9}{5} V_1

Sustituyendo el equivalente de V_1

\displaystyle V_2 = - \frac{9}{5} \left(\frac{5}{6} V_s \right)

\displaystyle V_2 = - \frac{9}{6} V_s

\displaystyle \therefore V_2 = - \frac{3}{2} V_s

La corriente I_1 es

\displaystyle I_1 = \frac{V_s}{R_s + 5 \ \text{k}}

\displaystyle I_1 = \frac{V_s}{1 \ \text{k} + 5 \ \text{k}} = \frac{V_s}{6 \ \text{k}}

\displaystyle \therefore I_1 = \frac{V_s}{6000}

La corriente I_s es

\displaystyle I_s = I_1

\displaystyle \therefore I_s = \frac{V_s}{6000}

Figura 6. Análisis de la fuente y del primer amplificador cuando Rf = ∞.

Con el apoyo de la figura 7, el V_o es

\displaystyle \frac{V_o}{V_2} = - \frac{6 \ \text{k}}{1.2 \ \text{k}}

\displaystyle V_o = - 5 V_2

\displaystyle V_o = - 5 \left( - \frac{3}{2} V_s \right)

\displaystyle \therefore V_o = \frac{15}{2} V_s

Figura 7. Análisis del segundo amplificador cuando Rf = ∞.

Finalmente, lo resultados solicitados son: \displaystyle V_1 = \frac{5}{6} V_s, \displaystyle V_2 = - \frac{3}{2} V_s, \displaystyle V_o = \frac{15}{2} V_s, \displaystyle I_s = \frac{V_s}{6000}, \displaystyle I_1 = \frac{V_s}{6000} y I_f = 0 \ \text{A}.

Solución del b). Cuando R_f = 40 \ \text{k} \Omega.

En este caso, se tendría el circuito de la figura 4 (nuevamente se muestra en la figura 8), que serían dos circuitos inversores.

Figura 8. Cuando Rf = 40 kΩ, se tienen dos circuitos inversores.

Estudiando el primer amplificador, el voltaje V_2 es

\displaystyle \frac{V_2}{V_1} = - \frac{9 \ \text{k}}{5 \ \text{k}}

\displaystyle V_2 = - \frac{9}{5} V_1

En el segundo amplificador, el voltaje V_o es

\displaystyle \frac{V_o}{V_2} = - \frac{6 \ \text{k}}{1.2 \ \text{k}}

\displaystyle V_o = - 5 V_2

\displaystyle V_o = - 5 \left(- \frac{9}{5} V_1 \right)

\displaystyle V_o = 9 V_1

Basándose en la figura 4, aplicando la LKC en el nodo B, se tiene que

\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{I_j} = 0

\displaystyle \frac{V_B - V_s}{1 \ \text{k}} + \frac{V_B - V_o}{R_f} + \frac{V_B - v_-}{5 \ \text{k}} = 0

Recordando que v_- = 0 \ \text{V}, \displaystyle V_o = 9 V_1 , R_f = 40 \ \text{k} \Omega y V_B = V_1, resulta

\displaystyle \frac{V_1 - V_s}{1 \ \text{k}} + \frac{V_1 - 9 V_1}{40 \ \text{k}} + \frac{V_1 - 0}{5 \ \text{k}} = 0

\displaystyle \frac{V_1 - V_s}{1 \ \text{k}} - \frac{8 V_1}{40 \ \text{k}} + \frac{V_1}{5 \ \text{k}} = 0

\displaystyle \frac{V_1}{1 \ \text{k}} - \frac{V_s}{1 \ \text{k}} - \frac{V_1}{5 \ \text{k}} + \frac{V_1}{5 \ \text{k}} = 0

\displaystyle \left(\frac{1}{1 \ \text{k}}\right) V_1 - \frac{V_s}{1 \ \text{k}} = 0

\displaystyle \left(\frac{1}{1 \ \text{k}} \right) V_1 = \frac{V_s}{1 \ \text{k}}

\displaystyle V_1 = V_s

Recordando la ecuación obtenida de V_2, al sustituir con V_1, resulta

\displaystyle V_2 = - \frac{9}{5} V_s

En el caso de V_o,

\displaystyle V_o = 9 V_s

La corriente I_s es

\displaystyle I_s = \frac{V_s - V_1}{1 \ \text{k}}

\displaystyle I_s = \frac{V_s - V_s}{1 \times 10^3}

\displaystyle I_s = 0 \ \text{A}

La corriente I_1 es

\displaystyle I_1 =  \frac{V_1}{5 \ \text{k}}

\displaystyle I_1 =  \frac{V_s}{5 \times 10^3} \ \text{A}

Y la corriente I_f es

\displaystyle I_f = I_1

\displaystyle I_f = \frac{V_s}{5 \times 10^3} \ \text{A}

Cuando R_f = 40 \ \text{k} \Omega la corriente I_1 en la resistencia de entrada de 5 \ \text{k} \Omega del primer amplificador operacional es proporcionada por la salida del segundo amplificador operacional a través de la resistencia de realimentación de 40 \ \text{k} \Omega. La corriente I_s procedente de V_s es, por tanto, cero. La resistencia de entrada del circuito es infinita.

Finalmente, lo resultados solicitados son: \displaystyle V_1 = V_s, \displaystyle V_2 = - \frac{9}{5} V_s, \displaystyle V_o = 9 V_s, \displaystyle I_s = 0 \ \text{A}, \displaystyle I_1 = \frac{V_s}{5 \times 10^3} \ \text{A} y I_f = \frac{V_s}{5 \times 10^3} \ \text{A}.

Problema 3. Calcular v_o en el circuito de la figura 9.

Figura 9. Circuito del problema 3.

Solución. El primer amplificador operacional es un circuito inversor,

\displaystyle \frac{v_3}{v_2} = - \frac{R}{R}

\displaystyle \frac{v_3}{v_2} = - 1

\displaystyle v_3 = - v_2

Figura 10. Análisis del primer amplificador operacional.

El segundo amplificador operacional se trata de un circuito sumador. Entonces

\displaystyle v_o = - \left(\frac{R_2}{R_1} v_3 + \frac{R_2}{R_1} v_1 \right)

\displaystyle v_o = - \frac{R_2}{R_1} \left(v_3 + v_1 \right)

Figura 11. Análisis del segundo amplificador operacional.

Recordando que v_3 = - v_2

\displaystyle v_o = - \frac{R_2}{R_1} \left(- v_2 + v_1 \right)

\displaystyle \therefore v_o = \frac{R_2}{R_1} \left(v_2 - v_1 \right)

Problema 4. En el circuito de la figura 12 calcular v_o.

Figura 12. Circuito del problema 4.

Solución. En el primer amplificador operacional (lado izquierdo, figura 13) se trata de un circuito no inversor. Entonces

\displaystyle \frac{v_3}{v_1} = 1+ \frac{R_1}{R_2}

\displaystyle v_3 = \left(1+ \frac{R_1}{R_2} \right) v_1

Figura 13. Análisis del primer amplificador operacional.

En el caso del segundo amplificador, se analizará por LKC en el nodo de la entrada inversora.

\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{i_j} = 0

\displaystyle \frac{v_- - v_3}{R_1} + \frac{v_- - v_o}{R_2} = 0

En este caso se observa que en el nodo de la entrada inversora v_- = v_2, así

\displaystyle \frac{v_2 - v_3}{R_1} + \frac{v_2 - v_o}{R_2} = 0

Figura 14. Análisis del segundo amplificador operacional.

Continuando

\displaystyle \frac{v_2}{R_1} - \frac{v_3}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} - \frac{v_o}{R_2} = 0

\displaystyle \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 - \frac{v_3}{R_1} - \frac{v_o}{R_2} = 0

Recordando que v_3 es \displaystyle \left(1+ \frac{R_1}{R_2} \right) v_1

\displaystyle \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 - \frac{\left(1+ \frac{R_1}{R_2} \right) v_1}{R_1} - \frac{v_o}{R_2} = 0

\displaystyle \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 - \frac{1}{R_1} \left(1+ \frac{R_1}{R_2} \right) v_1 - \frac{v_o}{R_2} = 0

\displaystyle \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 - \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_1 - \frac{v_o}{R_2} = 0

\displaystyle - \frac{v_o}{R_2} = - \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 + \left(\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2} \right) v_1

\displaystyle v_o = (- R_2) \left[- \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 + \left(\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2} \right) v_1 \right]

\displaystyle v_o = R_2 \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_2 - R_2 \left(\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2} \right) v_1

\displaystyle v_o = \left(\frac{R_2}{R_1} + 1 \right) v_2 - \left(\frac{R_2}{R_1} + 1 \right) v_1

\displaystyle \therefore v_o = \left(\frac{R_2}{R_1} + 1 \right) (v_2 - v_1)


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