control digital

Capacitores en serie. Circuitos eléctricos.

Introducción

La capacitancia equivalente de varios capacitores en serie se puede calcular por medio de la LKV con la ayuda de las figuras 1 y 2.

Figura 1.
Figura 2.

\displaystyle \sum_{j=1}^n{V_j} = 0

\displaystyle -v(t) + v_1 (t) + v_2 (t) + v_3 (t) \cdots v_N (t) = 0

\displaystyle v(t) = v_1 (t) + v_2 (t) + v_3 (t) \cdots v_N (t)

\displaystyle v(t) = \sum_{j=1}^{N}{v_j (t)}

La fórmula para obtener el voltaje del capacitor es

\displaystyle v_j (t) = v_j (t_0) + \frac{1}{C_j} \int_{t_0}^{t}{i(x) \ dx}

Sustituyendo en el desarrollo anterior, resulta

\displaystyle v(t) = \sum_{j=1}^{N}{\left[v_j (t_0) + \frac{1}{C_j} \int_{t_0}^{t}{i(x) \ dx} \right]}

\displaystyle v(t) = \sum_{j=1}^{N}{v_j (t_0)} + \sum_{j=1}^{N}{\frac{1}{C_j} \int_{t_0}^{t}{i(x) \ dx}}

\displaystyle v(t) = \sum_{j=1}^{N}{v_j (t_0)} + \left(\sum_{j=1}^{N}{\frac{1}{C_j}} \right) \int_{t_0}^{t}{i(x) \ dx}

\displaystyle v(t) = v (t_0) + \frac{1}{C_S} \int_{t_0}^{t}{i(x) \ dx}

donde

\displaystyle v(t_0) = \sum_{j=1}^{N}{v_j (t_0)} = v_1 (t_0) + v_2 (t_0) + v_3 (t_0) \cdots v_N (t_0)
\displaystyle \frac{1}{C_S} = \sum_{j=1}^{N}{\frac{1}{C_j}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} \cdots + \frac{1}{C_N}

También es importante notar que, dado que fluye la misma corriente por todos los capacitores en serie, cada uno de ellos acumula la misma carga en el mismo periodo de tiempo. El voltaje en cada capacitor depende de esta carga y de la capacitancia del elemento.

Problemas resueltos

Problema 1. Determine la capacitancia equivalente, el voltaje inicial y la energía total almacenada para el circuito de la figura 3.

Figura 3. Circuito del problema 1.

Solución. Se observa que estos capacitores debieron haber sido cargados antes de conectarse en serie, pues de otra forma la carga en cada uno sería la misma y los voltajes tendrían la misma dirección.

La capacitancia equivalente en serie es

\displaystyle \frac{1}{C_S} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}

\displaystyle \frac{1}{C_S} = \frac{1}{2 \ \mu} + \frac{1}{3 \ \mu} + \frac{1}{6 \ \mu}

\displaystyle \frac{1}{C_S} = \frac{6}{6 \ \mu} = \frac{1}{1 \ \mu}

\displaystyle \therefore C_S = 1 \ \mu \text{F}

Y el voltaje inicial es

\displaystyle v(t_0) = v_1 (t_0) + v_2 (t_0) + v_3 (t_0)

\displaystyle v(t_0) = 2 - 4 -1

\displaystyle \therefore v(t_0) = -3 \ \text{V}

La energía total almacenada es

\displaystyle w (t_0) = w_1 (t_0) + w_2 (t_0) + w_3 (t_0)

\displaystyle w (t_0) = \frac{1}{2} C_1 v^2_1 (t_0) + \frac{1}{2} C_2 v^2_2 (t_0) + \frac{1}{2} C_3 v^2_3(t_0)

\displaystyle w (t_0) = \frac{1}{2} \left[ C_1 v^2_1 (t_0) +C_2 v^2_2 (t_0) + C_3 v^2_3 (t_0) \right]

\displaystyle w (t_0) = \frac{1}{2} \left[ (2 \ \mu)(2)^2 + (3 \ \mu)(-4)^2 + (6 \ \mu)(-1)^2 \right]

\displaystyle w (t_0) = \frac{1}{2} \left( 8 \ \mu + 48 \ \mu + 6 \ \mu \right) = \frac{1}{2} \left(62 \ \mu \right)

\displaystyle \therefore w (t_0) = 31 \ \mu \text{J}

Sin embargo, la energía que puede recuperarse en las terminales es

\displaystyle w_C (t_0) = \frac{1}{2} C_S v^2 (t_0)

\displaystyle w_C (t_0) = \frac{1}{2} (1 \ \mu) (-3)^2 = \frac{9}{2} \ \mu

\displaystyle w_C (t_0) = \frac{1}{2} (1 \ \mu) (-3)^2 = \frac{9}{2} \ \mu

\displaystyle \therefore w_C (t_0) = \frac{9}{2} \ \mu \text{J}

Problema 2. Dos capacitores previamente descargados se conectan en serie y después se cargan con una fuente de 12 V. Un capacitor es de 30 μF y el otro se desconoce. Encuentre el voltaje en el capacitor desconocido si el voltaje en el capacitor de 30 μF es de 8 V.

Solución. Sea C_1 el capacitor de 30 μF y V_1 su voltaje. Su carga es

\displaystyle Q = C_1 V_1

\displaystyle Q = (30 \ \mu)(8) = 240 \ \mu

\displaystyle Q = 240 \ \mu \text{C}

Sea C_2 el capacitor desconocido y sea V_2 su voltaje. Luego, para determinar el voltaje V_2, se realiza un despeje y sustitución utilizando la siguiente fórmula

\displaystyle V = V_1 + V_2

\displaystyle V_2 = V - V_1

\displaystyle V_2 = 12 - 8 = 4

\displaystyle \therefore V_2 = 4 \ \text{V}

Puesto que la misma corriente fluye por todos los capacitores en serie, cada capacitor acumula la misma carga en el mismo periodo. Entonces

\displaystyle Q = C_2 V_2

\displaystyle C_2 = \frac{Q}{V_2}

\displaystyle C_2 = \frac{240 \ \mu}{4} = 60 \ \mu

\displaystyle \therefore C_2 = 60 \ \mu \text{F}

Se concluye que el capacitor C_2 es de 60 μF con un voltaje de 4 V.


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