circuitos eléctricos

Teorema de Thévenin y de Norton para circuitos con fuentes independientes y dependientes. Circuitos eléctricos.

Problema resuelto

Problema 1. Usar el teorema de Thévenin para encontrar V_o en la red de la figura 1.

Figura 1. Circuito del problema 1.

Solución. Se abre la red en los puntos A-B (figura 2).

Figura 2. Abriendo el circuito colocando los puntos A-B.

Esta modificación hace que se tenga un nuevo circuito (figura 3) haciendo que la fuente sea ahora 2000 I'_x y un voltaje de circuito abierto asignado como V_{oc}.

Figura 3.

Después, aplicando la LKC en el supernodo (figura 4), se tiene la siguiente ecuación

\displaystyle \sum_{j=1}^n{V_j} = 0

\displaystyle \frac{(V_{oc} + 12) - (-2000I'_x)}{1 \ \text{k}} + \frac{V_{oc} + 12}{2 \ \text{k}} + \frac{V_{oc}}{2 \ \text{k}} = 0

\displaystyle \frac{V_{oc}}{1 \ \text{k}} + \frac{12}{1 \ \text{k}} + \frac{2000I'_x}{1 \ \text{k}} + \frac{V_{oc}}{2 \ \text{k}} + \frac{12}{2 \ \text{k}} + \frac{V_{oc}}{2 \ \text{k}} = 0

\displaystyle 2V_{oc} + 24 + 4000I'_x + V_{oc}  + 12+ V_{oc} = 0

\displaystyle 4V_{oc} + 24 + 4000I'_x + 12 = 0

La ecuación de restricción es

\displaystyle I'_x = \frac{V_{oc}}{2 \ \text{k}}

Sustituyendo la ecuación de restricción en la ecuación obtenida del supernodo, resulta que

\displaystyle 4V_{oc} + 24 + 4000 \left(\frac{V_{oc}}{2 \ \text{k}} \right) + 12 = 0

\displaystyle 4V_{oc} + 24 + 2 V_{oc} + 12 = 0

\displaystyle  6V_{oc} + 36 = 0

\displaystyle  V_{oc} = - 6 \ \text{V}

Figura 4. Señalando el supernodo para aplicar LKC.

Luego, se cortocircuita las terminales A-B de la figura 4, teniendo otro circuito para determinar la corriente I_{sc} y esto hace que la fuente de corriente sea 2000 I''_x (figura 5).

Figura 5.

Al cortocircuitar las terminales A-B, provoca que I''_x sea cero y hace que la fuente dependiente sea un cortocircuito (figura 6).

Figura 6.

Con este nuevo circuito mostrado en la figura 6, ya es posible calcular I_{sc} por medio de la ley de Ohm.

\displaystyle I_{sc} = \frac{-12}{\frac{(1 \ \text{k})(2 \ \text{k})}{1 \ \text{k} + 2 \ \text{k}}}

\displaystyle I_{sc} = \frac{-12}{\frac{2}{3} \ \text{k}} = \frac{-12}{\frac{2}{3} \times 10^3} = \frac{-36}{2} \times 10^3 = -18 \times 10^3

\displaystyle I_{sc} = -18 \ \text{mA}

Con los resultado de V_{oc} y I_{sc}, es posible determinar la resistencia de Thévenin.

\displaystyle R_{\text{Th}} = \frac{V_{oc}}{I_{sc}}

\displaystyle R_{\text{Th}} = \frac{-6}{- 18 \ \text{m}} = \frac{-6}{- 18 \times 10^{-3}} = \frac{1}{3} \times 10^{3}

\displaystyle R_{\text{Th}} = - \frac{1}{3} \ \text{k} \Omega

Con estos resultados, se conecta el circuito equivalente de Thévenin con las terminales A-B que fueron desconectadas en un principio (figura 7).

Figura 7. Conexión del circuito equivalente de Thévenin con el resto de los elementos.

Observando en la figura 7, para determinar el voltaje V_o solo basta con aplicar la división de voltaje.

\displaystyle V_o = \left[\frac{1 \ \text{k}}{\left(\frac{1}{3} \ \text{k} + 1 \ \text{k} \right) + 1 \ \text{k}} \right] (-6)

\displaystyle V_o = \left(\frac{1 \ \text{k}}{\frac{7}{3} \ \text{k}} \right) (-6) = \left( \frac{3}{7} \right) (-6)

\displaystyle \therefore V_o = - \frac{18}{7} \ \text{V}


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