Áreas de superficies de revolución. Cálculo integral.

Introducción

La superficie de revolución se genera al hacer girar el arco $CD$ de la curva $y=f(x)$ alrededor del eje $x$ , como se observa en la figura 1. Si se quiere medir el área de dicha superficie, se utiliza el teorema fundamental del cálculo integral.

Primer paso. Se divide el intervalo $AB$ en subintervalos $\Delta x_1$ , $\Delta x_2$ , $\Delta x_3$ , etc., y se levantan ordenadas en los puntos de división. Se trazan las cuerdas $CE$ , $EF$ , etc., de la curva. Cuando la curva gira, cada cuerda engendra la superficie lateral de un tronco de cono de revolución. El área de la superficie de revolución se define como el límite de la suma de las áreas laterales de dichos conos truncados.

Segundo paso. Para hablar con claridad, se traza un primer tronco de cono en tamaño más grande (figura 2). Si $M$ es el punto medio de la cuerda $CE$ , entonces

$\text{Area lateral} = 2\pi (NM)(CE)$

Aquí, el área lateral de un tronco de cono de revolución es igual a la circunferencia de la sección media multiplicada por el lado del tronco.

Para aplicar el teorema fundamental del cálculo integral, es necesario expresar este producto como función de la abscisa de algún punto del intervalo medio, obteniendo la longitud de la curva $CE$ , es decir

$\displaystyle CE = \sqrt{1+[f' (x_1 )]^2} \Delta x_1$

Aquí $x_1$ es la abscisa del punto $P_1 (x_1,y_1 )$ , del arco $CE$ , donde la tangente es paralela a la cuerda $CE$ . Sea $R$ el punto en que la recta horizontal trazada por $M$ corta $QP_1 (y_1)$ , y designando a $RP_1 = \xi_1$ , entonces

$NM = y_1 - \xi_1$

Sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en la ecuación del área lateral, se tiene lo siguiente para el primer tronco de cono

$\text{Area lateral} = 2\pi (NM)(CE)$

$\displaystyle \text{Area lateral} = 2\pi (y_1-\xi_1 )(\sqrt{1+[f' (x_1 )]^2} \Delta x_1 )$

$\displaystyle \text{Area lateral} = 2\pi(y_1-\xi_1 ) \sqrt{1+[f' (x_1 )]^2 } \Delta x_1$

De la misma manera para el segundo tronco de cono

$\displaystyle \text{Area lateral} = 2\pi (y_2-\xi_2 )(\sqrt{1+[f' (x_n )]^2} \Delta x_2 )$

$\displaystyle \text{Area lateral} = 2\pi(y_2-\Delta_2 ) \sqrt{1+[f' (x_2 )]^2} \Delta x_2$

Y para n-ésimo tronco de cono

$\displaystyle \text{Area lateral} = 2\pi(y_n-\xi_n )(\sqrt{1+[f' (x_n )]^2} \Delta x_n )$

$\displaystyle \text{Area lateral} = 2\pi (y_n-\xi_n ) \sqrt{1+[f' (x_n )]^2} \Delta x_n$

Por tanto, la suma de las áreas laterales de los conos truncados se escribe

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{2\pi (y_i-\xi_i) \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i} = \sum_{i=1}^n{2\pi y_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i } - \sum_{i=1}^n{2\pi \xi_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i}$

Tercer paso. Empleando los límites $OA=a$ y $OB=b$ , y aplicando el teorema fundamental del cálculo integral en la siguiente suma

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{2\pi (y_i-\xi_i) \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\left[\sum_{i=1}^n{2\pi y_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i } - \sum_{i=1}^n{2\pi \xi_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i}\right]}$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{2\pi (y_i-\xi_i) \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i}} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^n{2\pi y_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i }} - \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^n{2\pi \xi_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i }}$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{2\pi (y_i-\xi_i) \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i}} = \int_a^b{2\pi y\sqrt{1+[f' (x)]^2} \, dx} + 0$

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{2\pi (y_i-\xi_i) \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i} = 2\pi \int_a^b{y \sqrt{(1+[f' (x)]^2} \, dx}$

El área de la superficie de revolución engendrada al hacer girar el arco $CD$ alrededor del eje $x$ viene dada por la fórmula

$\displaystyle S_x = 2\pi \int_a^b{y\sqrt{1+[f' (x)]^2} \, dx} = 2\pi \int_a^b{y\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \, dx}$

Donde $S_x$ representa el área buscada en el eje $x$ .

La fórmula anterior también se puede escribir así

$\displaystyle S = 2\pi \int_a^b{y \, ds}$

Cuando el eje $y$ es el de giro, se emplea la fórmula

$\displaystyle S_y = 2\pi \int_c^d{x \sqrt{1+[\phi' (y)]^2} \, dy} = 2\pi \int_c^d{x \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} \, dy}$

O también

$\displaystyle S = 2\pi \int_c^d{x \, ds}$

Para las fórmulas $\displaystyle S=2\pi \int_a^b{y \, ds}$ y $\displaystyle S = 2\pi \int_c^d{x \, ds}$ , $ds$ puede tomar cualquiera de las tres siguientes formas:

$\displaystyle ds = \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \, dx = \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} \, dy = \sqrt{{dx}^2+{dy}^2}$

De las tres formas anteriores, se puede emplear la primera o la segunda, según sea la variable independiente que se elija; la tercera, se usará solo si la curva dada está definida por ecuaciones paramétricas. Para utilizar cualquiera de las fórmulas con el fin de poder determinar el área de las superficies de revolución, es necesario calcular primeramente el valor de $ds$ .

Problemas resueltos

Problema 1. El arco de la parábola cúbica $9y=x^3$ , comprendido entre $x=0$ y $x=2$ , gira alrededor del eje $x$ . Hallar el área de la superficie de revolución que se engendra.

Solución. Se despeja la variable $y$ de la ecuación de la parábola cúbica.

$9y=x^3$

$\displaystyle y = \frac{x^3}{9}$

Derivando una vez con respecto a $x$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{3}{9} x^2 = \frac{1}{3} x^2$

Determinando $ds$

$\displaystyle ds = \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \, dx = \sqrt{1+(\frac{1}{3} x^2 )^2} \, dx = \sqrt{1 + \frac{1}{9} x^4} \, dx$

Sustituyendo en la fórmula del área, resulta

$\displaystyle S = 2\pi \int_a^b{y \, ds} = 2\pi \int_0^2{\frac{x^3}{9} \sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx}$

Resolviéndolo como una integral indefinida

$\displaystyle \int_0^2{\frac{x^3}{9} \sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{\frac{x^3}{9} \sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx}$

Aplicando el método de sustitución

\displaystyle dv = \frac{4}{9} x^3 \, dx \quad \rightarrow \quad \frac{dv}{4} = \frac{1}{9} x^3 dx = \frac{x^3}{9} \, dx

Continuando

$\displaystyle \int{\frac{x^3}{9}\sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} = \int{\sqrt{v} \, \frac{dv}{4}}$

$\displaystyle \int{\frac{x^3}{9}\sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} = \frac{1}{4} \int{\sqrt{v} \, dv} = \frac{1}{4} \int{v^{\frac{1}{2}} \, dv}$

$\displaystyle \int{\frac{x^3}{9}\sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} + C\right) = \frac{1}{4} \left(\frac{2}{3} v^{\frac{3}{2}} + C\right) = \frac{1}{6} v^{\frac{3}{2}} + C$

$\displaystyle \int{\frac{x^3}{9}\sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} = \frac{1}{6} \left( 1 + \frac{1}{9} x^4 \right)^{\frac{3}{2}} + C$

Regresando, sustituyendo el resultado y remplazando la variable $x$ por los límites, resulta

$\displaystyle \int_0^2{\frac{x^3}{9}\sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} = \left[\frac{1}{6} \left( 1 + \frac{1}{9} x^4 \right)^{\frac{3}{2}} + C \right]_0^2$

$\displaystyle \int_0^2{\frac{x^3}{9}\sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} = \frac{1}{6} \left[1+\frac{1}{9} (2)^4 \right]^\frac{3}{2} - \frac{1}{6} \left[1+\frac{1}{9} (0)^4 \right]^{\frac{3}{2}}$

$\displaystyle \int_0^2{\frac{x^3}{9}\sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} = \frac{1}{6} \left(\frac{25}{9} \right)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} (1)^{\frac{3}{2}}$

$\displaystyle \int_0^2{\frac{x^3}{9}\sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} = \frac{1}{6} \left(\frac{125}{27} \right) - \frac{1}{6} (1)$

$\displaystyle \int_0^2{\frac{x^3}{9}\sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} = \frac{125}{162} - \frac{1}{6} = \frac{49}{81}$

Finalmente

$\displaystyle S = 2\pi \int_0^2{\frac{x^3}{9} \sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx}$

$\displaystyle S = 2\pi \left(\frac{49}{81} \right)$

$\displaystyle \therefore S = \frac{98}{81} \pi \ \text{u}^2 \approx 3.801 \ \text{u}^2$

Problema 2. Hallar el área de la superficie de revolución engendrada al hacer girar la cicloide cuyas ecuaciones paramétricas son $x=a(\theta - \sin{\theta})$ y $y=a(1-\cos{\theta})$ alrededor del eje $x$ .

Solución. Graficando la función en base a las ecuaciones paramétricas (en donde se considera que $a=1$ )

Se toma la fórmula para determinar el área de la superficie de revolución

$\displaystyle S = 2\pi \int_a^b{y \, ds}$

Después, se determinan las diferenciales de cada ecuación paramétrica

\displaystyle x = a(\theta - \sin{\theta})

Luego, se determina el valor de $ds$

$\displaystyle ds = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

$\displaystyle ds = \sqrt{[a(1-\cos{\theta}) \, d\theta]^2 + (a \sin{\theta} \, d\theta)^2} = \sqrt{a^2 (1 - \cos{\theta})^2+a^2 \sin^2{\theta}} \, d\theta$

$\displaystyle ds = \sqrt{a^2 (1-2 \cos{\theta} + \cos^2{\theta})+a^2 \sin^2{\theta}} d\theta$

$\displaystyle ds = \sqrt{a^2 - 2a^2 \cos{\theta} + a^2 \cos^2{\theta} + a^2 \sin^2{\theta}} \, d\theta = \sqrt{a^2-2a^2 \cos{\theta}+a^2} \, d\theta$

$\displaystyle ds = \sqrt{2a^2-2a^2 \cos{\theta}} d\theta = \sqrt{2a^2 (1-\cos{\theta})} \, d\theta$

$\displaystyle ds = a \sqrt{2} \sqrt{1-\cos{\theta}} \, d\theta$

Sustituyendo

$\displaystyle S = 2\pi \int_a^b{y \, ds}$

$\displaystyle S = 2\pi \int_0^{2\pi}{a(1-\cos{\theta}) a\sqrt{2} \sqrt{1-\cos{\theta}} \, d\theta} = 2\sqrt{2} \pi a^2 \int_0^{2\pi}{(1-cos{\theta} ) \sqrt{1-\cos{\theta}} d\theta}$

$\displaystyle S = 2\sqrt{2} \pi a^2 \int_0^{2\pi}{(1-\cos{\theta})^{\frac{3}{2}} \, d\theta}$

Recordando la identidad trigonométrica

$\displaystyle \sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2\theta}$

Haciendo que θ cambie a θ/2 en el primer miembro, resulta

$\displaystyle \sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{\theta}$

Despejando el término $1 - \cos{\theta}$

$\displaystyle \sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{\theta}$

$\displaystyle \sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2} (1-\cos{\theta})$

$\displaystyle 2 \sin^2{\frac{\theta}{2}} = 1 - \cos{\theta}$

Entonces, aplicando esto en la integral, se tiene lo siguiente

$\displaystyle S = 2\sqrt{2} \pi a^2 \int_0^{2\pi}{(1-\cos{\theta})^{\frac{3}{2}} \, d\theta} = 2\sqrt{2} \pi a^2 \int_0^{2\pi}{(2 \sin^2{\frac{\theta}{2}})^{\frac{3}{2}} \, d\theta}$

$\displaystyle S = 2\sqrt{2} \pi a^2 \int_0^{2 \pi}{(2)^{\frac{3}{2}} \sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = 2\sqrt{2} (2)^{\frac{3}{2}} \pi a^2 \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta}$

$\displaystyle S = 8\pi a^2 \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta}$

Se resolviendo la integral definida como una integral indefinida,

$\displaystyle \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} \quad \rightarrow \quad \int{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta}$

Por el método de integración para productos de potencias impares de senos y cosenos (caso 1), resulta

$\displaystyle \int{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = \int{\sin^2{\frac{\theta}{2}} \sin{\frac{\theta}{2}} \, d\theta}$

$\displaystyle \int{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = \int{(1-\cos^2{\frac{\theta}{2}}) \sin{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = \int{\sin{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} - \int{\cos^2{\frac{\theta}{2}} \cdot \sin{\frac{\theta}{2}} \, d\theta}$

$\displaystyle \int{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = -2 \cos{\frac{\theta}{2}} + \frac{2}{3} \cos^3{\frac{\theta}{2}} + C$

Regresando y reemplazando la variable $\theta$ por sus respectivos límites, se tiene que

$\displaystyle \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = \left[-2 \cos{\frac{\theta}{2}} + \frac{2}{3} \cos^3{\frac{\theta}{2}} + C\right]_0^{2\pi}$

$\displaystyle \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = \left[-2 \cos{\frac{2\pi}{2}} + \frac{2}{3} \cos^3{\frac{2\pi}{2}} \right] - \left[-2 \cos{\frac{0}{2}} + \frac{2}{3} \cos^3{\frac{0}{2}} \right]$

$\displaystyle \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = \left[-2 \cos{\pi} + \frac{2}{3} \cos^3{\pi} \right] - \left[- 2 \cos{0} + \frac{2}{3} \cos^3{0} \right]$

$\displaystyle \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = \left[-2(-1)+\frac{2}{3} {(-1)}^3 \right] - \left[-2(1)+\frac{2}{3} {(1)}^3 \right]$

$\displaystyle \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = \left(2-\frac{2}{3} \right) - \left(-2+\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} - \left(-\frac{4}{3} \right)$

$\displaystyle \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

Finalmente

$\displaystyle S = 8\pi a^2 \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta}$

$\displaystyle S = 8\pi a^2 \left(\frac{8}{3} \right)$

$\displaystyle S = \frac{64}{3} \pi a^2 \, \text{u}^2$

Problema 3. Calcular el área de la superficie que se engendra cuando el arco de la parábola $y=x^2$ , desde $y=0$ a $y=2$ , gira alrededor del eje $y$ .

Solución. El enunciado menciona que el arco de la parábola gira alrededor del eje $y$ , entonces, se utilizará la siguiente fórmula

$\displaystyle S = 2\pi \int_c^d{x \, ds}$

Despejando la variable $x$ de la ecuación del arco de la parábola

$y=x^2$

$\displaystyle \pm \sqrt{y} = x$

$\displaystyle x = \pm \sqrt{y}$

$\displaystyle x = \sqrt{y}$

Determinando la primera derivada

$\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$

Después, se calcula $ds$

$\displaystyle ds = \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} dy = \sqrt{1+(\frac{1}{2\sqrt{y}})^2} dy = \sqrt{1+\frac{1}{4y}} \, dy = \frac{\sqrt{4y+1}}{2\sqrt{y}} \, dy$

Sustituyendo en la fórmula

$\displaystyle S = 2\pi\int_c^d{x \, ds}$

$\displaystyle S = 2\pi \int_0^2{\sqrt{y} \frac{\sqrt{4y+1}}{2\sqrt{y}} dy} = \pi \int_0^2{\sqrt{4y+1} \, dy}$

Resolviendo la integral definida como una integral indefinida, se tiene lo siguiente

$\displaystyle \int_0^2{\sqrt{4y+1} \, dy} \quad \rightarrow \quad \int{\sqrt{4y+1} \, dy}$

Continuando

$\displaystyle \int{\sqrt{4y+1} \, dy} = \frac{1}{6} (4y+1)^{\frac{3}{2}} + C$

Regresando y reemplazando la variable por sus respectivos límites, se tiene que

$\displaystyle \int_0^2{\sqrt{4y+1} \, dy} = \left[\frac{1}{6} (4y+1)^{\frac{3}{2}} + C\right]_0^2$

$\displaystyle \int_0^2{\sqrt{4y+1} \, dy} = \frac{1}{6} [4(2)+1]^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} [4(0)+1]^{\frac{3}{2}}$

$\displaystyle \int_0^2{\sqrt{4y+1} \, dy} = \frac{1}{6} (9)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} (1)^{\frac{3}{2}} = \frac{27}{6} - \frac{1}{6}$

$\displaystyle \int_0^2{\sqrt{4y+1} \, dy} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$

Finalmente

$\displaystyle S = \pi \int_0^2{\sqrt{4y+1} \, dy}$

$\displaystyle S = \pi \left( \frac{13}{3} \right)$

$\displaystyle \therefore S = \frac{13}{3} \pi \, \text{u}^2$

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$\displaystyle x = a(\theta - \sin{\theta})$	$\displaystyle y = a(1 - \cos{\theta})$
$\displaystyle dx = a(1 - \cos{\theta}) \, d\theta$	$\displaystyle dy = a \sin{\theta} \, d\theta$

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Publicado por Cesar Reyes

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