cálculo integral

Área limitada por dos curvas. Cálculo integral.

Introducción

Considerando la región acotada por las dos curvas y=f(x) y y=g(x) y las dos rectas x=a y x=b y suponiendo que las dos funciones son continuas en el intervalo cerrado [a,b] y que f(x) \ge g(x) para toda x en [a,b] se tiene la siguiente gráfica (figura 1 y 2).

Al dividir el intervalo cerrado [a,b] en n subintervalos de la longitud \Delta x cada uno, y trazando un rectángulo representativo de anchura \Delta x y con altura f(x_i ) - g(x_i ), donde x_i está en el i-ésimo subintervalo, se tiene lo siguiente

El área del rectángulo representativo es

\displaystyle \Delta A = [f(x_i )-g(x_i )] \Delta x

La suma de las áreas de los n rectángulos en la gráfica es

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{[f(x_i )-g(x_i )]\Delta x}

Por tanto, el área de la región comprendida ente dos curvas es

\displaystyle \text{Area} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{[f(x_i )-g(x_i )]\Delta x}}

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{[f(x)-g(x)] \ dx}

Si f y g están por encima del eje x se puede interpretar el área de la región comprendida entre sus gráficas simplemente como el área bajo f menos el área bajo g.

Es necesario aclarar que, por lo general, para determinar el área entre dos curvas hay que aplicar, para rectángulos verticales, la siguiente fórmula (en la variable x):

\displaystyle \text{Area} = \int_{x_1}^{x_2}{(\text{Curva superior} - \text{Curva  inferior}) \ dx}

Para rectángulos horizontales, la siguiente fórmula (en la variable y):

\displaystyle \text{Area} = \int_{y_1}^{y_2}{(\text{Curva a la derecha} - \text{Curva a  la izquierda}) \, dy}

Aquí (x_1,y_1), (x_2,y_2 ) son o bien puntos adyacentes de intersección de las curvas o puntos sobre ciertas líneas del contorno.

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular el área de la región que está acotada por las dos curvas y=x^2+2 y y=-x y las dos rectas x=0 y x=1.

Solución. Realizando la tabulación de ambas curvas

Graficando y localizando el área a determinar

figura 4.4.12
Figura 6. Representación gráfica de las funciones «y=x^2+2» y «y=-x».

Se tomará f(x)=x^2+2 y g(x)=-x, para que se cumpla con la condición f(x) \ge g(x) para toda x en el intervalo cerrado [0,1].

Aplicando la fórmula para el área entre dos curvas

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{[f(x)-g(x)] \, dx} = \int_0^1{[x^2+2-(-x)] \, dx}

\displaystyle \text{Area} = \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx}

Resolviéndolo como una integral indefinida

\displaystyle \int{(x^2+2+x) \, dx} = \int{x^2 \, dx} + 2\int{dx} + \int{x \, dx}

\displaystyle \int{(x^2+2+x) \, dx} = \frac{1}{3} x^3 + 2x + \frac{1}{2} x^2 + C

\displaystyle \int{(x^2+2+x) \, dx} = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + 2x + C

Regresando y reemplazando la variable x por sus límites correspondientes, resulta

\displaystyle \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx} = \left[\frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + 2x + C\right]_0^1

\displaystyle \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx} = \left[\frac{1}{3} (1)^3 + \frac{1}{2} (1)^2 + 2(1)  \right] - \left[\frac{1}{3} (0)^3 + \frac{1}{2} (0)^2+2(0) \right]

\displaystyle \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx} = \frac{1}{3}+\frac{1}{2} + 2 = \frac{17}{6}

Finalmente

\displaystyle \text{Area} = \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx}

\displaystyle \therefore \text{Area} = \frac{17}{6} \ \text{u}^2 \approx 2.833 \ \text{u}^2

Problema 2. Calcula el área de la región acotada por la recta f(x)=x y la curva g(x)=2-x^2.

Solución. Para determinar el área, es necesario conocer los límites inferior y superior, para ello, se resolverá las ecuaciones dadas por el problema por el método de igualación, con la finalidad de identificar posibles puntos de intersección, y en base a eso, tomarlos como los límites requeridos, y así, conocer el área de la región acotada.

f(x) \ge g(x)

f(x)=g(x)

x=2-x^2

x^2+x-2=0

Resolviendo esto por fórmula general

\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

x=1 \quad \text{y} \quad x=-2

Por tanto, estos valores de x, ayudarán a localizar los puntos de intersección. Realizando la tabulación de ambas funciones

tabla4.4.6

Entonces, los puntos de intersección son (-2,-2) y (1,1). Graficando las funciones y los puntos de intersección

figura 4.4.13
Figura 6. Representación gráfica de las funciones «f(x)=x» y «g(x)=2-x^2».

Cuando f(x)≥g(x), la fórmula para calcular el área es

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{[f(x)-g(x)] \, dx}

Pero como g(x)≥f(x), la fórmula para calcular el área es

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{[g(x)-f(x)] \, dx}

Sustituyendo

\displaystyle \text{Area} = \int_{-2}^1{[2-x^2-(x)] \, dx} = \int_{-2}^{1}{(2-x^2-x) \, dx}

Resolviendo la integral

\displaystyle \int{(2-x^2-x) \, dx} = 2\int{dx} - \int{x^2 \, dx} - \int{x \, dx}

\displaystyle \int{(2-x^2-x) \, dx} = 2x - \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 + C

Regresando y reemplazando la variable x por sus límites correspondientes, resulta

\displaystyle \int_{-2}^1{(2-x^2-x) \, dx} = \left[2x - \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 + C\right]_{-2}^1

\displaystyle \int_{-2}^1{(2-x^2-x) \, dx} = \left[2(1) - \frac{1}{3} (1)^3 - \frac{1}{2} (1)^2 \right] - \left[2(-2) - \frac{1}{3} (-2)^3 - \frac{1}{2} (-2)^2 \right]

\displaystyle \int_{-2}^1{(2-x^2-x) \, dx} = 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 4 - \frac{8}{3} + \frac{4}{2}

\displaystyle \int_{-2}^1{(2-x^2-x) \, dx} = 6 - \frac{9}{3} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}

Finalmente

\displaystyle \text{Area} = \int_{-2}^1{(2-x^2-x) \, dx}

\displaystyle \text{Area} = \frac{9}{2} \ \text{u}^2 = 4.5 \ \text{u}^2

Problema 3. Calcular el área de la región comprendida entre x=3-y^2 y y=x-1.

Solución. La ecuación x=3-y^2 se mantendrá mientras que la segunda y=x-1 se despejará la variable x, es decir, será x=y+1. Luego, la condición establecida fue f(x)≥g(x) pero como la variable ahora es y, por tanto, la condición se expresará como f(y)≥g(y). Por tanto, las funciones serán f(y)=3-y^2 y g(y)=y+1. Partiendo de la nueva condición, se analizará si existen puntos de intersección.

\displaystyle f(y) \ge g(y)

\displaystyle 3-y^2=y+1

\displaystyle -y^2-y+2=0

\displaystyle y^2+y-2=0

\displaystyle (y+2)(y-1)=0

Los valores de y son y=-2 y y=1. Después, realizando la tabulación para las funciones f(y) y g(y), resulta

tabla4.4.7

Graficando las funciones

figura 4.4.16
Figura 7. Representación gráfica de las funciones  «x=3-y^2» y «y=x-1».

Observando la gráfica, los resultados de la tabulación y los valores de y calculados en base a la nueva condición, existen sólo dos puntos de intersección, que son (-2,-1) y (1,2).

El área de la región acotada abarcará desde y=-2 hasta y=1. Para este caso, el área se considera en el eje y, por tanto, la fórmula a tomar es

\displaystyle \text{Area} = \int_c^d{[f(y)-g(y)] \, dy}

\displaystyle \text{Area} = \int_{-2}^1{[(3-y^2 )-(y+1)] \, dy} = \int_{-2}^1{(3-y^2-y-1) \, dy}

\displaystyle \text{Area} = \int_{-2}^1{(2-y^2-y) \, dy}

Resolviéndolo como una integral indefinida

\displaystyle \int{(2-y^2-y) \, dy} = 2\int{dy} - \int{y^2 \, dy} - \int{y dy}

\displaystyle \int{(2-y^2-y) \, dy} = 2y - \frac{1}{3} y^3 - \frac{1}{2} y^2 + C

Regresando y reemplazando la variable y por sus respectivos límites, resulta

\displaystyle \int_{-2}^1{(2-y^2-y) \, dy} = \left[2y - \frac{1}{3} y^3 - \frac{1}{2} y^2 + C\right]_{-2}^1

\displaystyle \int_{-2}^1{(2-y^2-y) \, dy} = \left[2(1) - \frac{1}{3} (1)^3 - \frac{1}{2} (1) \right] - \left[2(-2) - \frac{1}{3} (-2)^3 - \frac{1}{2} (-2)^2 \right]

\displaystyle \int_{-2}^1{(2-y^2-y) \, dy} = 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 4 -\frac{8}{3} + \frac{4}{2}

\displaystyle \int_{-2}^1{(2-y^2-y) \, dy} = 6 - \frac{9}{3} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}

Finalmente

\displaystyle \text{Area} = \int_{-2}^1{(2-y^2-y) \, dy}

\displaystyle \therefore \text{Area} = \frac{9}{2} \ \text{u}^2 = 4.5 \ \text{u}^2


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