cálculo integral

Fórmula Simpson o fórmula parabólica. Cálculo integral.

Introducción

Uniendo las extremidades de las ordenadas sucesivas por arcos de parábolas y sumando las áreas bajo dichos arcos se obtiene una mayor aproximación del área bajo una curva.

Una parábola con eje vertical puede hacerse pasar por tres puntos cualesquiera de una curva; una serie de arcos parabólicos se aproximará lo más posible a la curva dada que la línea quebrada formada por las cuerdas que dan lugar a los trapecios.

La ecuación de dicha parábola tiene la forma y=ax^2+2bx+c, donde los valores de las constantes a, b y c pueden determinarse de manera que esta parábola pase por tres puntos dados.

Al dividir el intervalo desde x=a=OM_0 hasta x=b=OM_n en un número n (par) de partes iguales, cada una de tamaño \Delta x. Para cada serie de tres puntos sucesivos P_0, P_1, P_2; P_2, P_3, P_4; P_4, P_5, P_6, etc., se trazan arcos de parábolas con ejes verticales. Las ordenadas de dichos puntos son y_0, y_1, y_2, y_3, ⋯ , y_n, tal y como se indica en la figura 1.

figura 4.3.2
Figura 2. Representación gráfica de la fórmula Simpson.

Sustituyendo el área M_0 P_0 P_1 P_n M_n por una serie de tiras parabólicas dobles como M_0 P_0 P_1 P_2 M_2, cuya extremidad superior es en cada caso un arco parabólico cuya ecuación es y=ax^2+2bx+c. El área de cada tira se obtiene empleando la fórmula

\displaystyle \text{Area} = \frac{h}{3} (y + 4y' + y'')

Para la primera tira parabólica, se tiene que h = \Delta x, y=y_0, y'=y_1, y''=y_2; luego su área es

\displaystyle M_0 \, P_0 \, P_1 \, P_2 \, M_2 = \frac{\Delta x}{3} (y_0 + 4y_1 + y_2 )

De la misma manera, se tiene que para:

  • La segunda tira parabólica: \displaystyle M_2 \, P_2 \, P_3 \, P_4 \, M_4 = \frac{\Delta x}{3} (y_2 + 4y_3 + y_4 )
  • La tercera tira parabólica: \displaystyle M_4 \, P_4 \, P_5 \, P_6 \, M_6 = \frac{\Delta x}{3} (y_4 + 4y_5 + y_6 )
  • La última tira parabólica: \displaystyle M_{n-2} \, P_{n-2} \, P_{n-1} \, P_n \, M_n = \frac{\Delta x}{3} (y_{n-2} + 4y_{n-1} + y_n )

Sumando el área de cada una de las tiras parabólicas, se obtiene la fórmula de Simpson, donde n es par; es decir

\displaystyle \text{Area total} = \frac{\Delta x}{3} (y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+ \cdots +y_n )

Al igual que en la fórmula de los trapecios, cuanto mayor sea el número de partes en que se divide M_0 M_n tanto más se aproximará el resultado al área bajo la curva.

Problemas resueltos

Problema 1. Empleando la fórmula Simpson, calcular el área aproximada para la curva y=x^3, dividiendo de x=2 a x=10 en ocho intervalos. Comparar el resultado obtenido aplicando la integración directa.

Solución. Primero se determina la longitud para cada intervalo

\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}

\displaystyle \Delta x = \frac{10-2}{8} = \frac{8}{8} = 1

\displaystyle \Delta x = 1

Después, se realiza una tabulación con la ecuación de la curva asignando valores de abscisa sucesivas de tamaño \Delta x=1, a partir de x=2 a x=10.

Imagentabla4

Luego, utilizando la fórmula de Simpson, se sustituyen los valores obtenidos en la tabulación.

\displaystyle \text{Area total} = \frac{\Delta x}{3} (y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+4y_5+2y_6+4y_7+y_8 )

\displaystyle \text{Area total} = \frac{1}{3} [8+4(27)+2(64)+4(125)+2(216)+4(343)+2(512)+4(729)+1000]

\displaystyle \text{Area total} = \frac{1}{3} (8+108+128+500+432+1372+1024+2916+1000) = \frac{1}{3} (7488)

\displaystyle \therefore \text{Area total} =2496 \ \text{u}^2

Comparando este resultado con la integración directa

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_2^{10}{x^3 \, dx}

Resolviéndolo como una integral indefinida

\displaystyle \int_2^{10}{x^3 \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{x^3 \, dx}

Se observa que es similar a

\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C

Entonces

\displaystyle \int{x^3 \, dx} = \frac{1}{3+1} x^{3+1} + C = \frac{1}{4} x^4+C

Regresando y reemplazando la variable x por sus límites correspondientes, resulta

\displaystyle \int_2^{10}{x^3 \, dx} = \left[\frac{1}{4} x^4+C\right]_2^{10}

\displaystyle \int_2^{10}{x^3 \, dx} = \left[\frac{1}{4} (10)^4+C\right]-\left[\frac{1}{4} (2)^4+C\right]

\displaystyle \int_2^{10}{x^3 \, dx} = \frac{10000}{4}-\frac{16}{4} = 2496

Finalmente

\displaystyle \therefore \text{Area} = \int_2^{10}{x^3 \, dx}

\displaystyle \therefore \text{Area} = 2496 \ \text{u}^2

Problema 2. Empleando la fórmula Simpson, calcular el área aproximada para la curva \displaystyle y = x\sqrt{25-x^2}, dividiendo de x=0 a x=4 en cuatro intervalos. Comparar el resultado obtenido aplicando la integración directa.

Solución. Primero se determina la longitud para cada intervalo

\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}

\displaystyle \Delta x = \frac{4-0}{4} = \frac{4}{4} = 1

\displaystyle \Delta x = 1

Después, se realiza una tabulación con la ecuación de la curva asignando valores de abscisa sucesivas de tamaño \Delta x=1, a partir de x=0 a x=4.

Imagentabla5

Luego, utilizando la fórmula de Simpson, se sustituyen los valores obtenidos en la tabulación.

\displaystyle \text{Area total} = \frac{\Delta x}{3} (y_0+4y_1+2y_2+4y_3+y_4 )

\displaystyle \text{Area total} = \frac{1}{3} [0+4(4.898)+2(9.165)+4(12)+12]

\displaystyle \text{Area total} = \frac{1}{3} (0+19.592+18.33+48+12) = \frac{1}{3} (97.922)

\displaystyle \therefore \text{Area total} = 32.641 u^2

Comparando este resultado con la integración directa

\displaystyle \text{Area} = \int_a^b{y \, dx} = \int_0^4{x\sqrt{25-x^2} \, dx}

Resolviendo la integral

\displaystyle \int_0^4{x\sqrt{25-x^2} \, dx} \quad \rightarrow \quad \int{x \sqrt{25-x^2} \, dx}

Se observa que es similar a

\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C

Analizando la variable v

v=25-x^2
\displaystyle dv = -2x \, dx \rightarrow x \, dx = -\frac{1}{2} \, dv

Entonces

\displaystyle \int{x\sqrt{25-x^2} \, dx} = \int{\sqrt{25-x^2} \, x \, dx} = \int{\sqrt{v} \left(-\frac{1}{2} \, dv \right)}

\displaystyle \int{x\sqrt{25-x^2} \, dx} = -\frac{1}{2} \int{\sqrt{v} \, dv} = -\frac{1}{2} \int{v^{\frac{1}{2}} \, dv} = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\frac{1}{2}+1} \right) v^{\frac{1}{2}+1} + C

\displaystyle \int{x\sqrt{25-x^2} \, dx} = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\frac{3}{2}} \right) v^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} v^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (\sqrt{v})^3 + C

\displaystyle \int{x\sqrt{25-x^2} \, dx}  = -\frac{1}{3} (\sqrt{25-x^2})^3 + C

Regresando y reemplazando la variable x por sus límites correspondientes, resulta

\displaystyle \int_0^4{x\sqrt{25-x^2} \, dx} = \left[-\frac{1}{3} (\sqrt{25-x^2})^3 + C\right]_0^4

\displaystyle \int_0^4{x\sqrt{25-x^2} \, dx} = \left[-\frac{1}{3} (\sqrt{25-16})^3 + C\right] - \left[-\frac{1}{3} (\sqrt{25-0})^3 + C\right]

\displaystyle \int_0^4{x\sqrt{25-x^2} \, dx} = -\frac{1}{3} (27) + \frac{1}{3} (125) = 32.667

Finalmente

\therefore \text{Area} = 32.667 \ \text{u}^2

Problema 3. Empleando la fórmula de Simpson, calcula el área aproximada para la curva \displaystyle y = \sqrt{2 - \cos^2{\theta}}, dividiendo de \theta = 0 a \displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} en seis intervalos. Comparar el resultado obtenido, aplicando la fórmula de los trapecios.

Solución. Primero se determina la longitud para cada intervalo

\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}

\displaystyle \Delta x = \frac{\frac{\pi}{2}-0}{6} = \frac{\frac{\pi}{2}}{6} = \frac{\pi}{12}

\displaystyle \Delta x = \frac{\pi}{12}

Después, se realiza una tabulación con la ecuación de la curva asignando valores de abscisa sucesivas de tamaño \displaystyle \Delta x = \frac{\pi}{12}, a partir de x=0 a \displaystyle x = \frac{\pi}{2}.

Imagentabla6

Luego, utilizando la fórmula de Simpson, se sustituyen los valores obtenidos en la tabulación.

\displaystyle \text{Area total} = \frac{\Delta x}{3} (y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+4y_5+y_6)

\displaystyle \text{Area total} = \frac{\frac{\pi}{12}}{3} [1+4(1.032)+2(1.118)+4(1.224)+2(1.322)+4(1.390)+1.414]

\displaystyle \text{Area total} = \frac{\pi}{36} (1+4.128+2.236+4.896+2.644+5.56+1.414) = \frac{\pi}{36} (21.878)

\displaystyle \therefore \text{Area total} = 1.9092 \ \text{u}^2

Los valores obtenidos y mostrados en la tabla se van a sustituir en la fórmula de los trapecios.

\displaystyle \text{Area total} = \left(\frac{1}{2} y_0+y_1+y_2+y_3+ \cdot +y_{n-1} + \frac{1}{2} y_n \right) \Delta x

\displaystyle \text{Area total} = \left(\frac{1}{2} y_0+y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+\frac{1}{2} y_6 \right) \Delta x

\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} (1)+1.032+1.118+1.224+1.322+1.390 + \frac{1}{2} (1.414)\right] \left(\frac{\pi}{12} \right)

\displaystyle \text{Area total} = \left(\frac{1}{2}+6.086+0.707\right) \left(\frac{\pi}{12} \right)

\displaystyle \therefore \text{Area total} = 1.9093 \ \text{u}^2


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