circuitos eléctricos

Equivalencia y linealidad. Circuitos eléctricos.

Equivalencia

En la tabla 1 se muestra algunos de los circuitos equivalentes que se emplean en el análisis. Esto ayuda como referencia rápida conforme se desarrolle el estudio de otras técnicas para encontrar valores o corrientes específicos en algunas partes de una red y que proporcionan ideas adicionales sobre el funcionamiento de la misma. Además de las formas incluidas en la tabla, es importante señalar que no se permite la conexión en serie de fuentes de corriente no la conexión en paralelo de fuentes de voltaje, a menos que las fuentes tengan la misma dirección y exactamente los mismos valores.

Linealidad

La linealidad requiere tanto superposición como homogeneidad (escalamiento). Puede de mostrar que los circuitos que se examinan satisfacen esta importante propiedad.

Problemas resueltos

Problema 1. Determinar el voltaje de salida V_{salida} en el circuito de la figura 1. Sin embargo, se usará la linealidad suponiendo que el voltaje de salida es V_{salida} = 1 \ \text{V}, en vez de resolver el problema directamente y calcular I_o, I_1, I_2, etc. Este supuesto produce un valor para el voltaje de fuente. Después se usará el valor real de la fuente y la linealidad para calcular el valor real de V_{salida}.

Figura 1. Circuito del problema 1.

Solución. Si se supone que V_{sal} = V_2 = 1 \ \text{V}, entonces

\displaystyle I_2 = \frac{V_2}{2 \ \text{k}}

\displaystyle I_2 = \frac{1}{2 \ \text{k}} = \frac{1}{2 \times 10^3} = \frac{1}{2} \times 10^{-3}

\displaystyle \therefore I_2 = \frac{1}{2} \ \text{mA}

El valor de V_1 es

\displaystyle V_1 = (4 \ \text{k}) I_2 + V_2

\displaystyle V_1 = (4 \ \text{k})\left(\frac{1}{2} \times 10^{-3} \right) + 1

\displaystyle V_1 = (4 \times 10^3) \left(\frac{1}{2} \times 10^{-3} \right) + 1 = 2 + 1

\displaystyle V_1 = 3 \ \text{V}

Así la corriente I_1 es

\displaystyle I_1 = \frac{V_1}{3 \ \text{k}}

\displaystyle I_1 = \frac{3}{3 \ \text{k}} = \frac{3}{3 \times 10^3} = 1 \times 10^-{3}

\displaystyle \therefore I_1 = 1 \ \text{mA}

Para hallar el valor de I_o se utiliza la LKC.

\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0

\displaystyle -I_o +I_1 + I_2 = 0

\displaystyle I_o = I_1 + I_2

\displaystyle I_o = 1 \ \text{mA} + \frac{1}{2} \ \text{mA}

\displaystyle \therefore I_o = \frac{3}{2} \ \text{mA}

Por último, el valor de V_o es

\displaystyle V_o = (2 \ \text{k}) I_o + V_1

\displaystyle V_o = (2 \ \text{k}) \left(\frac{3}{2} \ \text{m} \right) + 3

\displaystyle V_o = (2 \times 10^3) \left(\frac{3}{2} \times 10^{-3} \right) + 3 = 3 + 3

\displaystyle \therefore V_o = 6 \ \text{V}

En consecuencia, el supuesto de que V_{salida} = 1 \ \text{V} produce un voltaje de fuente de 6 V. Sin embargo, ya que el voltaje real de la fuente es de 12 V, el valor real del voltaje de salida es \displaystyle (1 \ \text{V}) \left(\frac{12}{6} \right) = 2 \ \text{V}.

Problema 2. Use la linealidad y el supuesto de que I_o = 1 \ \text{mA} para calcular la corriente I_o correcta en el circuito de la figura 2 si I= 6 \text{mA}.

Figura 2. Circuito del problema 2.

Solución. Se tiene la siguientes corrientes a analizar

Figura 3. Localizando las corrientes el circuito del problema 2

Utilizando la división de corriente, resulta que el valor de I_2 es

\displaystyle I_o = \frac{6 \ \text{k}}{6 \ \text{k} + 3 \ \text{k}} I_2

\displaystyle I_o = \frac{6 \ \text{k}}{9 \ \text{k}} I_2 = \frac{2}{3} I_2

\displaystyle I_2 = \frac{3}{2} I_o = \frac{3}{2} (1 \ \text{m})

\displaystyle I_2 = \frac{3}{2} \ \text{mA}

Se hace una reducción del circuito, observando que las equivalencias por el lado izquierdo las resistencias de 8 y 4 kΩ están en serie mientras que los resistores de 6 y 3 kΩ están en paralelo.

\displaystyle R_{S1} = 8 \ \text{k} + 4 \ \text{k} = 12 \ \text{k} \Omega

\displaystyle \frac{1}{R_{P1}} = \frac{1}{6 \ \text{k}} + \frac{1}{3 \ \text{k}} \rightarrow R_{P1}= 2 \ \text{k} \Omega

El circuito reducido se muestra en la figura 4.

Figura 4. Reducción del circuito.

Con esto se puede determinar el valor de la fuente I

\displaystyle I_2 = \frac{12 \ \text{k}}{12 \ \text{k} + (2 \ \text{k} + 2 \ \text{k})} I

\displaystyle I_2 = \frac{12 \ \text{k}}{16 \ \text{k}} I = \frac{3}{4} I

\displaystyle I = \frac{4}{3} I_2 = \frac{4}{3} \left(\frac{3}{2} \ \text{m} \right)

\displaystyle I = 2 \ \text{mA}

Finalmente, el valor real de la corriente I_o es

\displaystyle I_o = \left(I_{o \ \text{supuesto}} \right) \left(\frac{I_{\text{real}}}{I_{\text{supuesto}}} \right)

\displaystyle I_o = \left(1 \ \text{mA} \right) \left(\frac{6 \ \text{mA}}{2 \ \text{mA}} \right)

\displaystyle \therefore I_o = 3 \ \text{mA}


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