circuitos eléctricos

Análisis de lazos/mallas para circuitos con fuentes de corriente independientes. Circuitos eléctricos.

Problemas resueltos

Problema 1. Se desea encontrar V_o en la red de la figura 1.

Figura 1. circuito del problema 1.

Solución. Se indican las corrientes de malla.

Figura 2. Indicando las corrientes de malla del circuito del problema 1.

Se observa que I_1 e I_2 pasan directamente por la fuente de corriente. Así que se tienen los valores: I_1 = 4 \ \text{mA} e I_2 = - 2 \ \text{mA}, donde el último tiene signo negativo debido a la dirección del flujo de corriente.

Para encontrar el valor de I_3, basta con desarrollar una ecuación. Para ello, analizando la siguiente figura y aplicando la LKV en la malla correspondiente, resulta

\displaystyle \sum_{j=1}^n{V_j} = 0

\displaystyle (4 \ \text{k}) (I_3 - I_2) + (2 \ \text{k})(I_3 - I_1) + (6 \ \text{k}) I_3 - 3 = 0

\displaystyle (4 \ \text{k}) I_3 - (4 \ \text{k}) I_2 + (2 \ \text{k}) I_3 - (2 \ \text{k}) I_1 + (6 \ \text{k}) I_3 - 3 = 0

\displaystyle - (2 \ \text{k}) I_1 - (4 \ \text{k}) I_2 + (12 \ \text{k}) I_3 = 3

Figura 3. Señalando la malla para aplicar LKV.

Recordando que I_1 = 4 \ \text{mA} y I_2 = -2 \ \text{mA},

\displaystyle - (2 \ \text{k}) (4 \ \text{m}) - (4 \ \text{k}) (-2 \ \text{m}) + (12 \ \text{k}) I_3 = 3

\displaystyle - (2 \times 10^{3}) (4 \times 10^{-3}) - (4 \times 10^{3}) (-2 \times 10^{-3}) + (12 \times 10^3) I_3 = 3

\displaystyle -8 + 8 + (12 \times 10^3) I_3 = 3

\displaystyle (12 \times 10^3) I_3 = 3

\displaystyle I_3 = \frac{3}{12 \times 10^{3}} = \frac{3}{12} \times 10^{-3}

\displaystyle I_3 = \frac{1}{4} \ \text{mA}

Finalmente, el voltaje V_o es

\displaystyle V_o = (6 \ \text{k})I_3 - 3

\displaystyle V_o = (6 \ \text{k}) \left(\frac{1}{4} \ \text{m} \right) - 3 = (6 \times 10^{3}) \left(\frac{1}{4} \times 10^{-3} \right) - 3

\displaystyle V_o = \frac{6}{4} - 3 = - \frac{6}{4}

\displaystyle \therefore V_o = - \frac{3}{2} \ \text{V}

Problema 2. Encontrar I_o para la red de la figura 4.

Figura 4. Circuito del problema 2.

Primer método

Solución. Primero se seleccionan las corrientes de lazo I_1 e I_2, de tal modo que I_1 pase directamente por la fuente de 2 mA, e I_2 fluya directamente por la fuente de 4 mA.

Figura 5. Indicando las corrientes I1 e I2.

Entonces, se tienen dos de las tres ecuaciones linealmente independientes

\displaystyle I_1 = 2 \ \text{mA} = 2 \times 10^{-3}

\displaystyle I_2 = 4 \ \text{mA} = 4 \times 10^{-3}

La corriente de lazo I_3 debe pasar por los elementos de circuito no abiertos por las dos ecuaciones anteriores y no puede pasar por las fuentes de corriente. Al colocar en circuito abierto las fuentes de corriente se obtiene la trayectoria para la corriente de lazo restante (figura 6).

Figura 6. Trayectoria de la corriente de lazo I3.

Cuando se indican todas las corrientes sobre el circuito original (figura 7), ya es posible determinar la corriente I3 utilizando la LKV (utilizando sólo la trayectoria del lazo I3).

Figura 7. Señalando todas las trayectorias de lazo.

Entonces

\displaystyle \sum_{j=1}^n{V_j} = 0

\displaystyle -6 + (1 \ \text{k}) I_3 + (2 \ \text{k})(I_2 + I_3) + (2 \ \text{k})(I_2 + I_3 - I_1) + (1 \ \text{k})(I_3 - I_1)= 0

\displaystyle -6 + (1 \ \text{k}) I_3 + (2 \ \text{k}) I_2 + (2 \ \text{k}) I_3 + (2 \ \text{k}) I_2  + (2 \ \text{k}) I_3 - (2 \ \text{k}) I_1 + (1 \ \text{k}) I_3 - (1 \ \text{k}) I_1 = 0

\displaystyle - (3 \ \text{k}) I_1 + (4 \ \text{k}) I_2 + (6 \ \text{k}) I_3 = 6

Recordando que I_1 = 2 \times 10^{-3} y I_2 = 4 \times 10^{-3}

\displaystyle - (3 \ \text{k}) (2 \times 10^{-3}) + (4 \ \text{k}) (4 \times 10^{-3}) + (6 \ \text{k}) I_3 = 6

\displaystyle - (3 \times 10^3) (2 \times 10^{-3}) + (4 \times 10^3) (4 \times 10^{-3}) + (6 \ \text{k}) I_3 = 6

\displaystyle - 6 + 16 + (6 \ \text{k}) I_3 = 6

\displaystyle (6 \ \text{k}) I_3 = -4

\displaystyle I_3 = - \frac{4}{6 \ \text{k}} = - \frac{4}{6 \times 10^3} = - \frac{2}{3} \times 10^{-3}

\displaystyle I_3 = - \frac{2}{3} \ \text{mA}

Por último, la corriente I_o se determina así

\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0

\displaystyle - I_1 + I_3 + I_2 + I_o = 0

\displaystyle I_o = I_1 - I_3 - I_2

\displaystyle I_o = 2 \ \text{mA} - \left( - \frac{2}{3} \ \text{mA} \right) - 4 \ \text{mA}

\displaystyle I_o = 2 \ \text{mA} + \frac{2}{3} \ \text{mA} - 4 \ \text{mA}

\displaystyle \therefore I_o = - \frac{4}{3} \ \text{mA}

Segundo método

Solución. En este caso se especifican las tres corrientes de malla como se muestra en la figura 8, y dado que no se conoce el voltaje de la fuente de corriente de 4 mA, se asignará como V_x.

Figura 8. Señalando las tres corrientes de malla del circuito.

Las corrientes de malla delimitadas por las fuentes de corrientes son

\displaystyle I_1 = 2 \ \text{mA} = 2 \times 10^{-3}

\displaystyle I_2  - I_3= 4 \ \text{mA} = 4 \times 10^{-3}

La ecuación de la LKV para la malla 2 es

\displaystyle \sum_{j=1}^n{V_j} = 0

\displaystyle (2 \ \text{k})(I_2 - I_1) - V_x + (2 \ \text{k}) I_2 = 0

\displaystyle (2 \ \text{k})I_2 - (2 \ \text{k})I_1 - V_x + (2 \ \text{k}) I_2 = 0

\displaystyle - (2 \ \text{k})I_1 + (4 \ \text{k}) I_2 =  V_x

y para la malla 3

\displaystyle \sum_{j=1}^n{V_j} = 0

\displaystyle -6 + (1 \ \text{k})(I_3) + V_x + (1 \ \text{k}) (I_3 - I_1) = 0

\displaystyle -6 + (1 \ \text{k}) I_3 + V_x + (1 \ \text{k}) I_3 - (1 \ \text{k}) I_1 = 0

\displaystyle - (1 \ \text{k}) I_1 + (2 \ \text{k}) I_3 = 6 - V_x

Teniendo las ecuaciones obtenidas

\displaystyle - (2 \ \text{k})I_1 + (4 \ \text{k}) I_2 = V_x
\displaystyle - (1 \ \text{k}) I_1 + (2 \ \text{k}) I_3 = 6 - V_x

Por esta ocasión, se realiza una suma de ambas ecuaciones anteriores.

\displaystyle \begin{matrix} & - (2 \ \text{k})I_1 + (4 \ \text{k}) I_2 & = & \quad \quad V_x \\ (+) & - (1 \ \text{k}) I_1 + (2 \ \text{k}) I_3 & = & 6 - V_x \\ \cline{2-2} \cline{4-4} \\ & -(3 \ \text{k}) I_1 + (4 \ \text{k}) I_2 + (2 \ \text{k}) I_3 & = & 6 \end{matrix}

Con esto se ha eliminado el voltaje V_x. Las dos ecuaciones de restricción

\displaystyle I_1 = 2 \times 10^{-3}\displaystyle I_2 - I_3 = 4 \times 10^{-3} \rightarrow I_2 = I_3 + 4 \times 10^{-3}

junto con esta última ecuación, se obtiene el resultado esperado

\displaystyle -(3 \ \text{k}) I_1 + (4 \ \text{k}) I_2 + (2 \ \text{k}) I_3 = 6

\displaystyle -(3 \ \text{k}) (2 \times 10^{-3}) + (4 \ \text{k}) (I_3 + 4 \times 10^{-3}) + (2 \ \text{k}) I_3 = 6

\displaystyle -(3 \ \text{k}) (2 \times 10^{-3}) + (4 \ \text{k}) I_3 + (4 \ \text{k})(4 \times 10^{-3}) + (2 \ \text{k}) I_3 = 6

\displaystyle -(3 \times 10^3) (2 \times 10^{-3}) + (3 \times 10^3) I_3 + (3 \times 10^3)(4 \times 10^{-3}) + (2 \times 10^3) I_3 = 6

\displaystyle - 6 + 16 + (6 \times 10^3) I_3 = 6

\displaystyle (6 \times 10^3) I_3 = - 4

\displaystyle I_3 = - \frac{4}{6 \times 10^3} = - \frac{4}{6} \times 10^{-3} = - \frac{2}{3} \times 10^{-3}

\displaystyle I_3 = - \frac{2}{3} \ \text{mA}

Finalmente, la corriente I_o es

\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0

\displaystyle - I_1 + I_2 + I_o = 0

\displaystyle I_o = I_1 - I_2

\displaystyle I_o= I_1 - \left(I_3 + 4 \ \text{mA} \right)

\displaystyle I_o= I_1 - I_3 - 4 \ \text{mA}

\displaystyle I_o = 2 \ \text{mA} - \left(- \frac{2}{3} \ \text{mA} \right) - 4 \ \text{mA}

\displaystyle I_o = 2 \ \text{mA} + \frac{2}{3} \ \text{mA} - 4 \ \text{mA}

\displaystyle \therefore I_o = - \frac{4}{3} \ \text{mA}

Tercer método

Solución. Otra manera de resolverlo es utilizando la técnica de supermalla. La supermalla se crea eliminando la fuente de corriente de 4 mA (figura 9).

Figura 9. Desarrollo dela supermalla al eliminar la fuente de corriente de 4 mA.

Respetando la trayectoria de la corriente I_3, define la supermalla y se tiene una ecuación obtenida por la LKV.

\displaystyle \sum_{j=1}^n{V_j} = 0

\displaystyle -6 + (1 \ \text{k}) I_3 + (2 \ \text{k})I_2 + (2 \ \text{k})(I_2 - I_1)  + (1 \ \text{k})(I_3 - I_1)= 0

\displaystyle -6 + (1 \ \text{k}) I_3 + (2 \ \text{k})I_2 + (2 \ \text{k})I_2 - (2 \ \text{k}) I_1  + (1 \ \text{k}) I_3 - (1 \ \text{k}) I_1 = 0

\displaystyle - (3 \ \text{k}) I_1 + (4 \ \text{k})I_2 + (2 \ \text{k}) I_3 = 6

Sin olvidar las dos ecuaciones de restricción

\displaystyle I_1 = 2 \ \text{mA} = 2 \times 10^{-3}\displaystyle I_2 - I_3 = 4 \ \text{mA} \rightarrow I_2 = I_3 + 4 \ \text{mA}= I_3 + 4 \times 10^{-3}

Al sustituirlas en la ecuación anterior resulta

\displaystyle - (3 \ \text{k}) (2 \times 10^{-3}) + (4 \ \text{k})(I_3 + 4 \times 10^{-3}) + (2 \ \text{k}) I_3 = 6

\displaystyle - (3 \times 10^3) (2 \times 10^{-3}) + (4 \times 10^3)(I_3 + 4 \times 10^{-3}) + (2 \times 10^{3}) I_3 = 6

\displaystyle - (3 \times 10^3) (2 \times 10^{-3}) + (4 \times 10^3)I_3 + (4 \times 10^3)(4 \times 10^{-3}) + (2 \times 10^{3}) I_3 = 6

\displaystyle - 6 + (4 \times 10^3)I_3 + 16 + (2 \times 10^{3}) I_3 = 6

\displaystyle (6 \times 10^{3}) I_3 = - 4

\displaystyle I_3 = - \frac{4}{6 \times 10^{3}} = - \frac{4}{6} \times 10^{-3} = -\frac{2}{3} \times 10^{-3}

\displaystyle I_3 = -\frac{2}{3} \ \text{mA}

Calculando la corriente I_o, se tiene el resultado final

\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0

\displaystyle - I_1 + I_2 + I_o = 0

\displaystyle I_o = I_1 - I_2

\displaystyle I_o= I_1 - \left(I_3 + 4 \ \text{mA} \right)

\displaystyle I_o= I_1 - I_3 - 4 \ \text{mA}

\displaystyle I_o= I_1 - I_3 - 4 \ \text{mA}

\displaystyle I_o = 2 \ \text{mA} - \left(- \frac{2}{3} \ \text{mA} \right) - 4 \ \text{mA}

\displaystyle I_o = 2 \ \text{mA} + \frac{2}{3} \ \text{mA} - 4 \ \text{mA}

\displaystyle \therefore I_o = - \frac{4}{3} \ \text{mA}


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