cálculo integral

Suma de Riemann. Cálculo integral.

Introducción

La suma de Riemann es un método que consiste en obtener el área bajo una curva a partir de una función que se divide en n rectángulos de varias medidas diferentes con respecto al eje x, y respetando los límites inferior y superior de un intervalo dado.

Teorema

“Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b]. Al dividir este intervalo en n subintervalos cualesquiera (n-1) puntos intermedios entre a y b. Sean x_0 = a y x_n = b y sean x_1, x_2, x_3, … , x_n los puntos intermedios tales que x_0 < x_1 < x_2 < x_3 < ... <x_{(n-1)} < x_n; dichos puntos no son necesariamente equidistantes.

Sea \Delta x_1 la longitud del primer subintervalo tal que «\Delta x_1 = x_1 - x_0«; sea \Delta x_2 la longitud del segundo intervalo tal que «\Delta x_2 = x_2 - x_1» y así sucesivamente, tales que la longitud del k-ésimo subintervalo sea \Delta x_k, y que «\Delta x_k = x_k - x_{(k-1)}«.

Sea \Delta = {a=x_0, x_1,x_2, x_3, ... , x_{(n-1)}, x_n=b} el conjunto de todos los «n» subintervalos del intervalo [a,b], que se denomina  partición de ese intervalo” (Garza, 1999, p. 35).

Imagen1
Figura 1. Representación del área bajo una curva usando subintervalos.

Se toma un punto en cada subintervalo de la partición \Delta. Sea \xi_1 el punto tomado en [x_0,x_1] tal que x_0 \le \xi_1 \le x_1, sea \xi_2 representará x_2 \le \xi_2 \le x_1 y así sucesivamente, de modo que \xi_k sea el punto seleccionado en [x_{k-1},x_k] tal que x_{k-1} \le \xi_k \le x_k.

La suma de los productos f({\xi}_{1}) \Delta {x}_{1} + f({\xi}_{2}) \Delta {x}_{2} + ... + f({\xi}_{k}) \Delta {x}_{k} + ... + f({\xi}_{n})\Delta {x}_{n} que, por la notación sigma se escribe \displaystyle \sum_{k=1}^{n}{f({\xi}_{k}) \cdot \Delta {x}_{k}}, se denomina suma de Riemann.

En general,

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{f({\xi}_{k}) \cdot \Delta {x}_{k}} = f({\xi}_{1}) \cdot \Delta {x}_{1} + f({\xi}_{2}) \cdot \Delta {x}_{2} + ... + f({\xi}_{k}) \cdot \Delta {x}_{k} + ... + f({\xi}_{n}) \cdot \Delta {x}_{n}

Imagen2
Figura 2. Representación de la suma de Riemann.

La suma de Riemann muestra, geométricamente, la suma de las áreas de cada rectángulo; donde el ancho se representa como \Delta {x}_{k} y la altura como f(\xi_k). Finalmente, el área es

\displaystyle A = \sum_{k=1}^{n}{f({\xi}_{k})\Delta {x}_{k}}

Donde

\Delta {x}_{k} = {x}_{n} - {x}_{n-1}

El límite de la suma de Riemann, si existe, representa geométricamente el área de la región limitada por la curva y=f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X.

\displaystyle A = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{k=1}^{n}{f({\xi}_{k}) \Delta {x}_{k}}}

donde:

  • {\xi}_{k} = a + k \Delta x
  • a: es el límite inferior
  • k: representa el k-ésimo
  • \Delta x: representa el tamaño de cada rectángulo, es decir,

\displaystyle \Delta x = \left(\frac{b-a}{n} \right)

Problema resuelto

Problema. Dada la función f(x)={x}^{3}, con -1 \le x \le 2, calcular el área en el intervalo [-1,2] para la particion \Delta: {x}_{0}=-1, \displaystyle {x}_{1}=-\frac{1}{3}, \displaystyle {x}_{2} = \frac{1}{2}, {x}_{3}=1, \displaystyle {x}_{4}=1 \frac{1}{4}, {x}_{5}=2 y \displaystyle {\xi}_{1} = -\frac{1}{2}, \displaystyle {\xi}_{2} = \frac{1}{3}, \displaystyle{\xi}_{3} = \frac{2}{3}, {\xi}_{4}=1, y \displaystyle {\xi}_{5}=1 \frac{1}{2}.

Solución. Analizando el enunciado, los valores de \xi_k muestran que k llega hasta 5, por lo que n=5. Teniendo esto, se determina la suma de Riemann.

\displaystyle A = \sum_{k=1}^{5}{f({\xi}_{k}) \cdot \Delta {x}_{k}}

\displaystyle A = f({\xi}_{1}) \cdot \Delta {x}_{1} + f({\xi}_{2}) \cdot \Delta {x}_{2} + f({\xi}_{3}) \cdot \Delta {x}_{3} + f({\xi}_{4}) \cdot \Delta {x}_{4} + f({\xi}_{5}) \cdot \Delta {x}_{5}

\displaystyle A = f \left(-\frac{1}{2} \right) \left[-\frac{1}{3}- (-1) \right] + f \left(\frac{1}{3} \right) \left[\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{3} \right) \right] + f \left(\frac{2}{3} \right) \left(1-\frac{1}{2} \right) + f(1) \left(1 \frac{1}{4}-1 \right) + f \left(1 \frac{1}{2} \right) \left(2-1 \frac{1}{4} \right)

\displaystyle A = f \left(-\frac{1}{2} \right) \left(-\frac{1}{3}+1 \right) + f \left(\frac{1}{3} \right) \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right) + f \left(\frac{2}{3} \right) \left(1-\frac{1}{2} \right) + f(1) \left(1 \frac{1}{4}-1 \right) + f \left(1 \frac{1}{2} \right) \left(2-1 \frac{1}{4} \right)

\displaystyle A = f \left(-\frac{1}{2} \right) \left(-\frac{1}{3}+1 \right) + f \left(\frac{1}{3} \right) \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right) + f \left(\frac{2}{3} \right) \left(1-\frac{1}{2} \right) + f(1) \left(\frac{5}{4}-1 \right) + f \left( \frac{5}{2} \right) \left(2- \frac{5}{4} \right)

\displaystyle A = {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{3} \left(\frac{2}{3}\right) + {\left(\frac{1}{3}\right)}^{3} \left(\frac{5}{6}\right) + {\left(\frac{2}{3}\right)}^{3}\left(\frac{1}{2}\right) + {(1)}^{3}\left(\frac{1}{4}\right) + {\left(\frac{3}{2}\right)}^{3}\left(\frac{3}{4}\right)

\displaystyle A = -\frac{1}{8} \left(\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{27} \left(\frac{5}{6}\right) + \frac{8}{27} \left(\frac{1}{2}\right) + (1)\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{27}{8} \left(\frac{3}{4} \right)

\displaystyle A = -\frac{2}{24} + \frac{5}{162} + \frac{8}{54} + \frac{1}{4} + \frac{81}{32}

\displaystyle \therefore A = \frac{7457}{2592} \ {\text{u}}^{2} = 2.8769 \ {\text{u}}^{2}

La grafica se muestra a continuación

Figura 3. Representación gráfica de la función «f(x)=x^3» con las divisiones mencionadas por el problema 1.

Problema 2. Dada la función f(x)=x^2 - x +1, con 0 \le x \le 2, calcular el área en el intervalo [0,2] para la particion \Delta: {x}_{0}=0, {x}_{1}=0.2, {x}_{2} = 0.5, {x}_{3}=0.7, {x}_{4}=1, {x}_{5}=1.3, {x}_{6}=1.8, {x}_{7}=2 y {\xi}_{1} = 0.1, {\xi}_{2} = 0.4, {\xi}_{3} = 0.6, {\xi}_{4}=0.9, {\xi}_{5}=1.1, {\xi}_{6}=1.5 y {\xi}_{7}=2.

Solución. Analizando el enunciado, los valores de \xi_k muestran que k llega hasta 7, por lo que n=7. Teniendo esto, se determina la suma de Riemann.

\displaystyle A = \sum_{k=1}^{7}{f({\xi}_{k}) \cdot \Delta {x}_{k}}

\displaystyle A = f({\xi}_{1}) \cdot \Delta {x}_{1} + f({\xi}_{2}) \cdot \Delta {x}_{2} + f({\xi}_{3}) \cdot \Delta {x}_{3} + f({\xi}_{4}) \cdot \Delta {x}_{4} + f({\xi}_{5}) \cdot \Delta {x}_{5} + f({\xi}_{6}) \cdot \Delta {x}_{6} + f({\xi}_{7}) \cdot \Delta {x}_{7}

\displaystyle A = f(0.1) \cdot (0.2-0) + f(0.4) \cdot (0.5-0.2) + f(0.6) \cdot (0.7-0.5) + f(0.9) \cdot (1-0.7) + f(1.1) \cdot (1.3-1) + f(1.5) \cdot (1.8-1.3) + f(2) \cdot (2-1.8)

\displaystyle A = (0.1^2-0.1+1) \cdot (0.2) + (0.4^2-0.4+1) \cdot (0.3) + (0.6^2-0.6+1) \cdot (0.2) + (0.9^2-0.9+1) \cdot (0.3) + (1.1^2-1.1+1) \cdot (1) + (1.5^2-1.5+1) \cdot (0.5) + (2^2-2+1) \cdot (0.2)

\displaystyle A = (0.91) \cdot (0.2) + (0.76) \cdot (0.3) + (0.76) \cdot (0.2) + (0.91) \cdot (0.3) + (1.11) \cdot (1) + (1.75) \cdot (0.5) + (3) \cdot (0.2)

\displaystyle A = 0.182 + 0.228 + 0.152 + 0.273 + 1.11 + 0.875 + 0.6

\displaystyle \therefore A = 3.42 \ \text{u}^2

A continuación. se muestra la gráfica de la función con sus respectivos rectángulos.

Figura 4. Representación gráfica de la función «f(x)=x^2-x+1» con las divisiones mencionadas por el problema 2.

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