Suma de Riemann. Cálculo integral.

Introducción

La suma de Riemann es un método que consiste en obtener el área bajo una curva a partir de una función que se divide en $n$ rectángulos de varias medidas diferentes con respecto al eje $x$ , y respetando los límites inferior y superior de un intervalo dado.

Teorema

“Sea f una función continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ . Al dividir este intervalo en n subintervalos cualesquiera $(n-1)$ puntos intermedios entre $a$ y $b$ . Sean $x_0 = a$ y $x_n = b$ y sean $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , … , $x_n$ los puntos intermedios tales que $x_0 < x_1 < x_2 < x_3 < ... <x_{(n-1)} < x_n$ ; dichos puntos no son necesariamente equidistantes.

Sea $\Delta x_1$ la longitud del primer subintervalo tal que « $\Delta x_1 = x_1 - x_0$ «; sea $\Delta x_2$ la longitud del segundo intervalo tal que « $\Delta x_2 = x_2 - x_1$ » y así sucesivamente, tales que la longitud del k-ésimo subintervalo sea $\Delta x_k$ , y que « $\Delta x_k = x_k - x_{(k-1)}$ «.

Sea $\Delta = {a=x_0, x_1,x_2, x_3, ... , x_{(n-1)}, x_n=b}$ el conjunto de todos los «n» subintervalos del intervalo [a,b], que se denomina partición de ese intervalo” (Garza, 1999, p. 35).

Imagen1 — *Figura 1. Representación del área bajo una curva usando subintervalos.*

Se toma un punto en cada subintervalo de la partición $\Delta$ . Sea $\xi_1$ el punto tomado en $[x_0,x_1]$ tal que $x_0 \le \xi_1 \le x_1$ , sea $\xi_2$ representará $x_2 \le \xi_2 \le x_1$ y así sucesivamente, de modo que $\xi_k$ sea el punto seleccionado en $[x_{k-1},x_k]$ tal que $x_{k-1} \le \xi_k \le x_k$ .

La suma de los productos $f({\xi}_{1}) \Delta {x}_{1} + f({\xi}_{2}) \Delta {x}_{2} + ... + f({\xi}_{k}) \Delta {x}_{k} + ... + f({\xi}_{n})\Delta {x}_{n}$ que, por la notación sigma se escribe $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{f({\xi}_{k}) \cdot \Delta {x}_{k}}$ , se denomina suma de Riemann.

En general,

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{f({\xi}_{k}) \cdot \Delta {x}_{k}} = f({\xi}_{1}) \cdot \Delta {x}_{1} + f({\xi}_{2}) \cdot \Delta {x}_{2} + ... + f({\xi}_{k}) \cdot \Delta {x}_{k} + ... + f({\xi}_{n}) \cdot \Delta {x}_{n}$

Imagen2 — *Figura 2. Representación de la suma de Riemann.*

La suma de Riemann muestra, geométricamente, la suma de las áreas de cada rectángulo; donde el ancho se representa como $\Delta {x}_{k}$ y la altura como $f(\xi_k)$ . Finalmente, el área es

$\displaystyle A = \sum_{k=1}^{n}{f({\xi}_{k})\Delta {x}_{k}}$

Donde

$\Delta {x}_{k} = {x}_{n} - {x}_{n-1}$

El límite de la suma de Riemann, si existe, representa geométricamente el área de la región limitada por la curva $y=f(x)$ , las rectas $x=a$ , $x=b$ y el eje $X$ .

$\displaystyle A = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{k=1}^{n}{f({\xi}_{k}) \Delta {x}_{k}}}$

donde:

${\xi}_{k} = a + k \Delta x$
$a$ : es el límite inferior
$k$ : representa el k-ésimo
$\Delta x$ : representa el tamaño de cada rectángulo, es decir,

$\displaystyle \Delta x = \left(\frac{b-a}{n} \right)$

Problema resuelto

Problema. Dada la función $f(x)={x}^{3}$ , con $-1 \le x \le 2$ , calcular el área en el intervalo [-1,2] para la particion $\Delta$ : ${x}_{0}=-1$ , $\displaystyle {x}_{1}=-\frac{1}{3}$ , $\displaystyle {x}_{2} = \frac{1}{2}$ , ${x}_{3}=1$ , $\displaystyle {x}_{4}=1 \frac{1}{4}$ , ${x}_{5}=2$ y $\displaystyle {\xi}_{1} = -\frac{1}{2}$ , $\displaystyle {\xi}_{2} = \frac{1}{3}$ , $\displaystyle{\xi}_{3} = \frac{2}{3}$ , ${\xi}_{4}=1$ , y $\displaystyle {\xi}_{5}=1 \frac{1}{2}$ .

Solución. Analizando el enunciado, los valores de $\xi_k$ muestran que $k$ llega hasta 5, por lo que $n=5$ . Teniendo esto, se determina la suma de Riemann.

$\displaystyle A = \sum_{k=1}^{5}{f({\xi}_{k}) \cdot \Delta {x}_{k}}$

$\displaystyle A = f({\xi}_{1}) \cdot \Delta {x}_{1} + f({\xi}_{2}) \cdot \Delta {x}_{2} + f({\xi}_{3}) \cdot \Delta {x}_{3} + f({\xi}_{4}) \cdot \Delta {x}_{4} + f({\xi}_{5}) \cdot \Delta {x}_{5}$

$\displaystyle A = f \left(-\frac{1}{2} \right) \left[-\frac{1}{3}- (-1) \right] + f \left(\frac{1}{3} \right) \left[\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{3} \right) \right] + f \left(\frac{2}{3} \right) \left(1-\frac{1}{2} \right) + f(1) \left(1 \frac{1}{4}-1 \right) + f \left(1 \frac{1}{2} \right) \left(2-1 \frac{1}{4} \right)$

$\displaystyle A = f \left(-\frac{1}{2} \right) \left(-\frac{1}{3}+1 \right) + f \left(\frac{1}{3} \right) \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right) + f \left(\frac{2}{3} \right) \left(1-\frac{1}{2} \right) + f(1) \left(1 \frac{1}{4}-1 \right) + f \left(1 \frac{1}{2} \right) \left(2-1 \frac{1}{4} \right)$

$\displaystyle A = f \left(-\frac{1}{2} \right) \left(-\frac{1}{3}+1 \right) + f \left(\frac{1}{3} \right) \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right) + f \left(\frac{2}{3} \right) \left(1-\frac{1}{2} \right) + f(1) \left(\frac{5}{4}-1 \right) + f \left( \frac{5}{2} \right) \left(2- \frac{5}{4} \right)$

$\displaystyle A = {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{3} \left(\frac{2}{3}\right) + {\left(\frac{1}{3}\right)}^{3} \left(\frac{5}{6}\right) + {\left(\frac{2}{3}\right)}^{3}\left(\frac{1}{2}\right) + {(1)}^{3}\left(\frac{1}{4}\right) + {\left(\frac{3}{2}\right)}^{3}\left(\frac{3}{4}\right)$

$\displaystyle A = -\frac{1}{8} \left(\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{27} \left(\frac{5}{6}\right) + \frac{8}{27} \left(\frac{1}{2}\right) + (1)\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{27}{8} \left(\frac{3}{4} \right)$

$\displaystyle A = -\frac{2}{24} + \frac{5}{162} + \frac{8}{54} + \frac{1}{4} + \frac{81}{32}$

$\displaystyle \therefore A = \frac{7457}{2592} \ {\text{u}}^{2} = 2.8769 \ {\text{u}}^{2}$

La grafica se muestra a continuación

Figura 3. Representación gráfica de la función «f(x)=x^3» con las divisiones mencionadas por el problema 1.

Problema 2. Dada la función $f(x)=x^2 - x +1$ , con $0 \le x \le 2$ , calcular el área en el intervalo [0,2] para la particion $\Delta$ : ${x}_{0}=0$ , ${x}_{1}=0.2$ , ${x}_{2} = 0.5$ , ${x}_{3}=0.7$ , ${x}_{4}=1$ , ${x}_{5}=1.3$ , ${x}_{6}=1.8$ , ${x}_{7}=2$ y ${\xi}_{1} = 0.1$ , ${\xi}_{2} = 0.4$ , ${\xi}_{3} = 0.6$ , ${\xi}_{4}=0.9$ , ${\xi}_{5}=1.1$ , ${\xi}_{6}=1.5$ y ${\xi}_{7}=2$ .

Solución. Analizando el enunciado, los valores de $\xi_k$ muestran que $k$ llega hasta 7, por lo que $n=7$ . Teniendo esto, se determina la suma de Riemann.

$\displaystyle A = \sum_{k=1}^{7}{f({\xi}_{k}) \cdot \Delta {x}_{k}}$

$\displaystyle A = f({\xi}_{1}) \cdot \Delta {x}_{1} + f({\xi}_{2}) \cdot \Delta {x}_{2} + f({\xi}_{3}) \cdot \Delta {x}_{3} + f({\xi}_{4}) \cdot \Delta {x}_{4} + f({\xi}_{5}) \cdot \Delta {x}_{5} + f({\xi}_{6}) \cdot \Delta {x}_{6} + f({\xi}_{7}) \cdot \Delta {x}_{7}$

$\displaystyle A = f(0.1) \cdot (0.2-0) + f(0.4) \cdot (0.5-0.2) + f(0.6) \cdot (0.7-0.5) + f(0.9) \cdot (1-0.7) + f(1.1) \cdot (1.3-1) + f(1.5) \cdot (1.8-1.3) + f(2) \cdot (2-1.8)$

$\displaystyle A = (0.1^2-0.1+1) \cdot (0.2) + (0.4^2-0.4+1) \cdot (0.3) + (0.6^2-0.6+1) \cdot (0.2) + (0.9^2-0.9+1) \cdot (0.3) + (1.1^2-1.1+1) \cdot (1) + (1.5^2-1.5+1) \cdot (0.5) + (2^2-2+1) \cdot (0.2)$

$\displaystyle A = (0.91) \cdot (0.2) + (0.76) \cdot (0.3) + (0.76) \cdot (0.2) + (0.91) \cdot (0.3) + (1.11) \cdot (1) + (1.75) \cdot (0.5) + (3) \cdot (0.2)$