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Equilibrio de sólido rígido con fuerzas coplanares no paralelas y concurrentes. Física.

Introducción

La mecánica es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen.

La mecánica, para su estudio, se divide en estática, cinemática y dinámica.

La estática estudia las fuerzas en equilibrio, la cinemática estudia el movimiento sin importar las causas que lo producen, y la dinámica estudia el movimiento, atendiendo las causas que lo producen.

Las fuerzas al actuar sobre un cuerpo, modifican su estado de reposo o movimiento; sin embargo, también le pueden producir una deformación. Por ejemplo, cuando se aplica el peso de un bloque de hierro sobre una pelota de esponja, ésta sufre una deformación y no logra moverla.

Las fuerzas son coplanares si se encuentran en el mismo plano.

Definición de equilibrio

Existe equilibrio en un cuerpo cuando las fuerzas que actúan sobre él tienen una suma resultante igual a cero. Un cuerpo tiende a permanecer en movimiento; mediante el análisis sencillo, se puede observar que el cuerpo permanecerá en reposo; si está en equilibrio y si el cuerpo está en movimiento, éste se mantendrá a una velocidad constante. Si únicamente dos fuerzas actúan sobre un cuerpo en equilibrio, un estudio es sencillo puede demostrar que son iguales en magnitud y opuestas en dirección.

Un ejemplo de fuerzas en equilibrio sería un semáforo colgado del techo. La fuerza hacia abajo o peso (F_g) está equilibrada por la tensión del cable hacia arriba. Aquí, las fuerzas son iguales en magnitud y opuestas en sentido.

Figura 1. Un semáforo colgado del techo se encuentra en equilibrio.

Si en alguna ocasión una persona se jala de las manos con otra persona, se observa que no existe ningún movimiento oponente, por lo que las fuerzas que actúan son iguales pero opuestas en cada extremo; a esto se le conoce como condición de equilibrio. Como se muestra en la figura 2, la fuerza (F), de 50 N que actúa tirando hacia la derecha, está contrarrestada por una fuerza igual, pero opuesta (-F), de 50 N, que tira hacia la izquierda. Si las dos fuerzas se vuelven desiguales, ya no existirá el equilibrio y entonces habrá un movimiento en dirección a la fuerza mayor. Se notará, en el caso del equilibrio, que la tensión de cada mano es de 50 N y no de 100 N.

Figura 2. La tensión de cada mano es de 50 N.

Cuando un cuerpo está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero. En este caso ambas componentes rectangulares deben ser también iguales a cero; es la condición para que un cuerpo permanezca en equilibrio.

\sum{F_x} = 0

\sum{F_y} = 0

Esta ecuación representa una proposición de la primera condición de equilibrio, que puede ser enunciada como sigue:

Un cuerpo se encuentra en equilibrio si y sólo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.

Condiciones de equilibrio traslacional

Un cuerpo que se considera en equilibrio, puede estar en reposo o en un estado de movimiento rectilíneo uniforme. De acuerdo con la Primera ley de Newton, esta condición de estado sólo se puede modificar si se aplica una fuerza. Cuando todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo tienen un solo punto de intersección y su suma vectorial es igual a cero, el sistema permanecerá en equilibrio. En la figura 3 se observa que el equilibrio traslacional; el cuerpo se desplazará sobre una línea de acción sin tener un equilibrio rotacional, por lo que es necesario considerar el punto de aplicación, la magnitud y el sentido de las fuerzas.

Figura 3. En el balón existen fuerzas equilibradas que permiten que esté en reposo.

En la figura 4 hay equilibrio rotacional; no se desplaza el cuerpo pues alcanza su equilibrio al tener fuerzas en diferente sentido y paralelas.

Figura 4. En el balón hay momentos de torsión en equilibrio que provocan la rotación.

Tres fuerzas concurrentes en equilibrio

Si sobre un cuerpo actúan tres fuerzas, y éste se encuentra en equilibrio, la resultante de las tres fuerzas deben ser igual a cero, por lo que, para que el cuerpo estén en equilibrio, la suma de vectores de las tres fuerzas debe ser igual a cero.

\sum{\overrightarrow{F}}=0

Al dibujar los vectores a escala en sus respectivas direcciones, se obtiene un polígono cerrado, que es un triángulo.

Problemas resueltos

Problema 1. Un semáforo está suspendido de dos soportes , como se muestra en la figura 5. Las tres fuerzas que actúan a través del punto común O, son F_g, el peso del semáforo que es de 50 N que actúa en línea recta hacia abajo, F_1, la tensión de un cable a 45° hacia arriba y a la izquierda; y F_2, la tensión del otro cable, a 30° hacia arriba y a la derecha. Calcular gráfica y analíticamente las magnitudes de las tensiones.

Figura 5. Tres fuerzas producen equilibrio si su suma vectorial es cero.

Solución. Los datos son los siguientes

  • \overrightarrow{F} = 500 \ N
  • \overrightarrow{F}_1 = ?
  • \overrightarrow{F}_2 = ?

a) Cálculo gráfico

Para representar el triángulo de las fuerzas vectorialmente, se muestra el diagrama (b) de la figura 6; entonces

\displaystyle \overrightarrow{F}_g + \overrightarrow{F}_1 + \overrightarrow{F}_2 = 0

El diagrama de fuerzas demuestra las condiciones del equilibrio; se representa la magnitud de las fuerzas \overrightarrow{F}_1 y \overrightarrow{F}_2. La manera de efectuarlo es:

  1. Se dibuja en cualquier parte de una línea horizontal auxiliar (D) un punto, que se denominará (A), que representará el origen del primer vector de 5 unidades. Cada una equivale a 100 N, será derecha y hacia abajo, que representa a F_g (el peso del semáforo).
  2. En la parte final del vector \overrightarrow{F}_g = 500 \ N, se dibuja otra línea auxiliar (E) paralela a la horizontal anterior. A este punto se le denomina (B).
  3. Se traza desde el punto A una línea a 45°, que será el vector F_1. A partir del punto B, se traza una línea a 30° que representa al vector F_2. La prolongación de las mismas dará un punto que se denominará C.
  4. Al tomar las medidas de las líneas continuadas AC y BC se observa que tienen longitudes de 4.48 cm y 3.66 cm, que equivalen a las fuerzas y sus valores. Son las fuerzas \overrightarrow{F}_1 = 448 \ N y \overrightarrow{F}_2 = 366 \ N, respectivamente.
Figura 6. Los ángulos internos 45°, 60° y 75°, del triángulo ABC.

b) Cálculo analítico

Primero se determinan los ángulos internos del triángulo ABC y luego se aplica la ley de los senos para encontrar las longitudes de los lados AC y BC. Usando los ángulos dados en el esquema (b) de la figura _a, se tiene que: A=45°, B=60° y C=75°. Por la ley de los senos.

\displaystyle \frac{AC}{\sin{60}} = \frac{\overrightarrow{F}_g}{\sin{75}}

\displaystyle AC = \frac{\overrightarrow{F}_g \sin{60}}{\sin{75}}

\displaystyle AC = \frac{(500 \ N) (0.866)}{0.966}

\displaystyle AC = 448 \ N

La longitud \overrightarrow{F}_2 es

\overrightarrow{F}_1 = AC = 448 \ N

Y para la longitud BC

\displaystyle \frac{BC}{\sin{45}} = \frac{\overrightarrow{F}_g}{\sin{75}}

\displaystyle BC = \frac{\overrightarrow{F}_g \sin{45}}{\sin{75}}

\displaystyle BC = \frac{(500 \ N)(0.707)}{0.966}

\displaystyle BC = 366 \ N

La longitud \overrightarrow{F}_2 es

\overrightarrow{F}_2 = BC = 366 \ N

Problema 2. Una pelota de acero de 100 N suspendida del cordel A es tirada hacia un lado por otro cordel B y mantenida de tal forma que el cordel A forme un ángulo de 30° con la pared vertical. Calcular las tensiones de los cordeles A y B, utilizando los métodos: a) de las componentes y b) del polígono.

Figura 7. A y B son fuerzas que actúan sobre el nudo.

Solución. Los datos son

  • \overrightarrow{F} = 100 \ N
  • \overrightarrow{A} = ?
  • \overrightarrow{B} = ?
  • \theta = 30°

a) Método de las componentes

Figura 8. Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan sobre el nudo.

Después

\sum{\overrightarrow{F}_x} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \cos{60}

\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \cos{60} = 0

\overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} \cos{60}

\overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} \cos{60}

\overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} (0.5)

\overrightarrow{B} = 0.5 \overrightarrow{A}

\sum{\overrightarrow{F}_y} = \overrightarrow{A} \sin{60} - 100 \ N

\overrightarrow{A} \sin{60} - 100 \ N = 0

\overrightarrow{A} \sin{60} = 100 \ N

\overrightarrow{A} (0.866) = 100 \ N

\displaystyle \overrightarrow{A} = \frac{100 \ N}{0.866}

\displaystyle \therefore \overrightarrow{A} = 115.47 \ N

Conociendo el valor de A, se puede obtener el valor de B como sigue

\overrightarrow{B} = 0.5 \overrightarrow{A}

\overrightarrow{B} = 0.5 (115.47 \ N)

\overrightarrow{B} = 57.75 \ N

b) Método del polígono

Figura 9. Representación gráfica del polígono de fuerzas.

Vectorialmente se tiene

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = 0

Al tomar la ley de los senos

\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\sin{A}} = \frac{\overrightarrow{b}}{\sin{B}} = \frac{\overrightarrow{c}}{\sin{C}}

se tiene que

\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\sin{A}} = \frac{\overrightarrow{c}}{\sin{C}}

\displaystyle \overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{c} \sin{A}}{\sin{C}}

\displaystyle \overrightarrow{a} = \frac{100 \ N \sin{90}}{\sin{60}}

\displaystyle \overrightarrow{a} = \frac{100 \ N (1)}{0.866}

\displaystyle \overrightarrow{a} = 115.5 \ N

Y para b

\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\sin{A}} = \frac{\overrightarrow{b}}{\sin{B}} = \frac{\overrightarrow{c}}{\sin{C}}

\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}}{\sin{B}} = \frac{\overrightarrow{c}}{\sin{C}}

\displaystyle \overrightarrow{b} = \frac{\overrightarrow{c} \sin{B}}{\sin{C}}

\displaystyle \overrightarrow{b} = \frac{(100 \ N) \sin{30}}{\sin{60}}

\displaystyle \overrightarrow{b} = \frac{(100 \ N) (0.5)}{0.866}

\displaystyle \overrightarrow{b} = 57.7 \ N


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