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Método del polígono. Física.

Introducción

Para sumar más de dos vectores concurrentes en forma gráfica, se utiliza el llamado método del polígono. Este método consiste en trasladar paralelamente a sí mismo cada uno de los vectores sumados, de tal manera que al tomar uno de los vectores como base, los otros se colocarán uno a continuación del otro y así sucesivamente hasta colocar el último. La resultante será el vector que una el origen de los vectores con el extremo libre del último vector sumando, y su sentido estará dirigido hacia el extremo del último vector.

Figura 1. Representación gráfica del método de polígono.

Composición y descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares

Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente que contenga un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposición. si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento se denomina composición.

La fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo. A la acción de empujar o tirar de un cuerpo se le llama fuerza. Por ejemplo, la fuerza F forma un ángulo theta (\theta) con el eje de las x, como se muestra en la figura 2.

Figura 2. Descomposición de una fuerza en sus componentes «x» y «y».

Trazando desde A líneas perpendiculares a los ejes x y y, las fuerzas componentes \overrightarrow{F}_x y \overrightarrow{F}_y son equivalentes a la fuerza original \overrightarrow{F}, ya que sumándolas vectorialmente dan F como resultante.

Con \overrightarrow{F}_x y \overrightarrow{F}_y son perpendiculares entre sí, los triángulos OAB y OAC son triángulos rectángulos equivalentes con los correspondientes lados iguales, \overrightarrow{F}_y = AB y \overrightarrow{F}_x = AC.

Por trigonometría, se tiene que

\displaystyle \cos{\theta} = \frac{\text{cateto \ adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{\overrightarrow{F}_x}{\overrightarrow{F}}

\displaystyle \cos{\theta} = \frac{\text{cateto \ opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{\overrightarrow{F}_y}{\overrightarrow{F}}

Puesto que \overrightarrow{F} y \theta generalmente conocidas, estas ecuaciones son útiles para encontrar las magnitudes de las componentes de la fuerza; despejándolas se obtiene que

\displaystyle \overrightarrow{F}_x = \overrightarrow{F} \cos{\theta}

\displaystyle \overrightarrow{F}_y = \overrightarrow{F} \sin{\theta}

donde \theta es el ángulo entre el vector y la parte positiva el eje x medido en dirección opuesta a las manecillas del reloj.

El signo de una componente puede ser determinado de un diagrama de vectores. Las cuatro posibilidades se muestran en las figura 3, 4. 5 y 6.

Figura 3. Primer cuadrante, el ángulo θ está entre 0° y 90°; Fx y Fy son positivas.
Figura 4. Segundo cuadrante, el ángulo θ está entre 90° y 180°; Fx es negativa, Fy es positiva.
Figura 5. Tercer cuadrante, el ángulo θ está entre 180° y 270°; Fx es negativa, Fy es negativa.
Figura 6. Cuarto cuadrante, el ángulo θ está entre 270° y 360°; Fx es positiva y Fy es negativa.

Problemas resueltos

Problema. Calcular gráfica y analíticamente las componentes en x y en y de una fuerza de 25 N, actuando en una dirección de 42° respecto de la horizontal como se muestra en la figura 7.

Solución. Se tienen los siguientes datos

  • \overrightarrow{F}_x = ?
  • \overrightarrow{F}_y = ?
  • \overrightarrow{F} = 25 \ N
  • \theta = 42°

a) Cálculo gráfico

Figura 7. Descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares.

b) Cálculo analítico

Para \overrightarrow{F}_x

\displaystyle \overrightarrow{F}_x = \overrightarrow{F} \cos{\theta}

\displaystyle \overrightarrow{F}_x = (25 \ N) (\cos{42})

\displaystyle \therefore \overrightarrow{F}_x = 18.57 \ N

Para \overrightarrow{F}_y

\displaystyle \overrightarrow{F}_y = \overrightarrow{F} \sin{\theta}

\displaystyle \overrightarrow{F}_y = (25 \ N) \sin{42}

\displaystyle \therefore \overrightarrow{F}_y = 16.7 \ N

Pasos del método de las componentes. Cálculo analítico

Para la solución analítica se realizan las siguientes operaciones:

  1. Cada fuerza se descompone en sus componentes en el eje x y en el eje y.
  2. Se suman las componentes x para dar la componente resultante en el eje x.
  3. Se suman las componentes y para dar la componente resultante en el eje y.
  4. Se encuentra la resultante usando el Teorema de Pitágoras.
  5. Se calcula la dirección de la resultante por medio de la función tangente con el rectángulo final.

\displaystyle \tan{\theta} = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{\overrightarrow{F}_y}{\overrightarrow{F}_x}

Problema resuelto

Problema. Calcular gráfica y analíticamente la fuerza resultante equivalente a las siguientes fuerzas (ver los diagramas vectoriales, figuras 8, 9, y 10).

Solución. Los datos son los siguientes:

  • \overrightarrow{F}_1 = 5 \ N a 30°
  • \overrightarrow{F}_2 = 4 \ N a 90°
  • \overrightarrow{F}_3 = 7 \ N a 135°
  • \overrightarrow{F}_4 = 6 \ N a 240°

Cálculo gráfico

Figura 8. Diagrama vectorial.

Método del polígono de fuerzas

Figura 9. Polígono de fuerzas.

Proyección sobre los ejes x y y

Figura 10. Descomposición rectangular de las fuerzas.

Cálculo analítico

a) Cálculo de la magnitud

La letra griega \Sigma se llama sigma e indica suma. Entonces

\displaystyle \sum{\overrightarrow{F}_x} = \overrightarrow{F}_1 \cos{30} + \overrightarrow{F}_2 \cos{90} + \overrightarrow{F}_3 \cos{135} + \overrightarrow{F}_4 \cos{240}

Sustituyendo

\displaystyle \sum{\overrightarrow{F}_x} = (5 \ N) \cos{30} + (4 \ N) \cos{90} + (7 \ N) \cos{135} +(6 \ N) \cos{240}

\displaystyle \sum{\overrightarrow{F}_x} = (5 \ N)(0.866) + (4 \ N)(0) + (7 \ N)(0.707) +(6 \ N)(-0.5)

\displaystyle \sum{\overrightarrow{F}_x} = 4.33 \ N - 4.95 \ N - 3 \ N

\displaystyle \sum{\overrightarrow{F}}_x = - 3.62 \ N

Y para \sum{\overrightarrow{F}_y} se tiene

\displaystyle \sum{\overrightarrow{F}_y} = \overrightarrow{F}_1 \sin{30} + \overrightarrow{F}_2 \sin{90} + \overrightarrow{F}_3 \sin{135} + \overrightarrow{F}_4 \sin{240}

Sustituyendo

\displaystyle \sum{\overrightarrow{F}_y} = (5 \ N) \sin{30} + (4 \ N) \sin{90} + (7 \ N) \sin{135} + (6 \ N) \sin{240}

\displaystyle \sum{\overrightarrow{F}_y} = (5 \ N) (0.5) + (4 \ N) (1) + (7 \ N) (0.707) + (6 \ N) (-0.866)

\displaystyle \sum{\overrightarrow{F}_y} = 2.5 \ N + 4 \ N + 4.94 \ N - 5.19 \ N

\displaystyle \sum{\overrightarrow{F}_y} = 6.25 \ N

Para obtener la resultante, se utiliza el Teorema de Pitágoras

{\overrightarrow{R}}^2 = {\left( \sum{\overrightarrow{F}_x} \right)}^2 + {\left( \sum{\overrightarrow{F}_y} \right)}^2

\displaystyle {\overrightarrow{R}}^2 = {\left(-3.62 \ N \right)}^2 + {\left(6.25 \ N \right)}^2

\displaystyle {\overrightarrow{R}}^2 = 13.10 \ N^2 + 39.06 \ N^2

\displaystyle {\overrightarrow{R}}^2 = 52.16 \ N^2

\displaystyle \sqrt{{\overrightarrow{R}}^2} = \sqrt{52.16 \ N^2}

\displaystyle \therefore R = 7.2 \ N

b) Cálculo de la dirección

Como se observa, \sum{\overrightarrow{F}_x} es negativa, esto quiere decir que es horizontal hacia la izquierda; y \sum{\overrightarrow{F}_y} es positiva, que quiere decir que es vertical hacia arriba.

Al encontrar \sum{\overrightarrow{F}_x} y \overrightarrow{F}_y todo nuestro sistema inicial se redujo a dos vectores rectangulares, como se muestra en la figura 11.

Figura 11. Simplificando las cuatros fuerzas, se obtiene el vetor resultante.

Aplicando la función tangente, se tiene que:

\displaystyle \tan{\theta} = \frac{\sum{\overrightarrow{F}_y}}{\sum{\overrightarrow{F}_x}}

\displaystyle \tan{\theta} = \frac{6.25 \ N}{- 3.62 \ N}

\displaystyle \tan{\theta} = - 1.73

\displaystyle \theta = \arctan{(-1.73)}

\displaystyle \theta = - 60°

Como se observa en la figura_, el vector resultante \overrightarrow{R} se encuentra en el segundo cuadrante; entonces,

\alpha = 180 + \theta

\alpha = 180 - 60

\therefore \alpha = 120°


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