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Método del paralelogramo para vectores concurrentes. Física.

Introducción

Cuando en forma gráfica se desean sumar dos vectores concurrentes, se utiliza el método del paralelogramo, en el que la resultante de los dos vectores es representada por la diagonal del paralelogramo dibujado con los dos vectores como los lados adyacentes, y dirigidos desde el origen de los dos vectores. A su ve, el cálculo de la magnitud de la resultante se efectúa por el método analítico utilizándose la Ley de los cosenos:

\displaystyle {\overrightarrow{c}}^2 = {\overrightarrow{a}}^2 + {\overrightarrow{b}}^2 \pm 2ab \cos{\theta}

donde

  • c es la hipotenusa (vector resultante)
  • a es el cateto o lado (vector a)
  • b es el cateto o lado (vector b)
  • \theta es el ángulo que forman los vectores a y b

Para calcular la dirección de la resultante analíticamente se utiliza la Ley de los senos.

\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}}

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular gráfica y análiticamente la fuerza resultante de dos fuerzas que forman entre sí un ángulo de 45°, si una de ellas tiene una magnitud de 5 N y la otra de 10 N.

Solución. Se tiene los siguientes datos

  • \overrightarrow{a} = 5 \ N
  • \overrightarrow{b} = 10 \ N
  • \overrightarrow{R} = ?
  • A=?
  • \theta = 45°

Cálculo gráfico

Para el cálculo gráfico, primero se dibujan los vectores hacia afuera, partiendo del mismo origen A y formando el ángulo de 45°. Luego, desde la parte terminal del vector a (punto D), se traza una línea punteada y paralela al vector \overrightarrow{b}. Después, desde la parte terminal del vector \overrightarrow{b} (punto B), se traza una línea punteada y paralela al vector a. Donde estas líneas paralelas se intersecten, se obtendrá el punto C, que se considera la parte final del vector resultante R. Al unir los punts A y C, se obtendrá la magnitud de la resultante.

Figura 1. Diagrama de los vectores a y b para encontrar el vector resultante, cuyo ángulo entre ellos es menor de 90°.

Cálculo analítico

a) Cálculo de la magntitud

Utilizando la ley de los cosenos

\displaystyle {\overrightarrow{c}}^2 = {\overrightarrow{a}}^2 + {\overrightarrow{b}}^2 \pm 2ab \cos{\theta}

Solo se toma el signo positivo del último término (ubicado en el segundo miembro) y se reemplaa la variable c por R.

\displaystyle {\overrightarrow{R}}^2 = {\overrightarrow{a}}^2 + {\overrightarrow{b}}^2 + 2ab \cos{\theta}

\displaystyle {\overrightarrow{R}}^2 = {(5 \ N)}^2 + {(10 \ N)}^2 + 2(5 \ N)(10 \ N) \cos{45}

\displaystyle {\overrightarrow{R}}^2 = 25\ N^2 + 100 \ N^2 + 70.7 \ N^2

\displaystyle {\overrightarrow{R}}^2 = 195.7 \ N^2

\displaystyle \sqrt{{\overrightarrow{R}}^2} = \sqrt{195.7 \ N^2}

\displaystyle \therefore \overrightarrow{R} = 14 \ N

b) Cálculo de la dirección

Por último se calcula la dirección con la que va la resultante.

\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\sin{A}} = \frac{\overrightarrow{b}}{\sin{B}} = \frac{\overrightarrow{R}}{\sin{C}}

\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\sin{A}} = \frac{\overrightarrow{R}}{\sin{C}}

\displaystyle \sin{A} = \frac{\overrightarrow{a} \sin{C}}{\overrightarrow{R}}

\displaystyle \sin{A} = \frac{(5 \ N) (\sin{135})}{14 \ N}

\displaystyle \sin{A} = 0.2525

\displaystyle A  = \arcsin{0.2525}

\displaystyle \therefore A  = 14.6°

Problema 2. Calcular gráfica y analíticamente la fuerza resultante de dos fuerzas que forman entre sí un ángulo de 120°, si una de ellas tiene una magnitud de 84 N y la otra de 38 N.

Solución. Los datos son los siguientes

  • \overrightarrow{a} = 84 N
  • \overrightarrow{b} = 38 \ N
  • \overrightarrow{R} = ?
  • B=?

Cálculo gráfico

Después, para el cálculo gráfico se propone la escala y se hacen los trazos ya establecidos.

Figura 2. Diagrama vectorial para encontrar el vector resultante de dos vectores, utilizando el método del paralelogramo, cuando el ángulo es mayor de 90°.

Cálculo analítico

a) Cálculo de la magnitud

Para ello, se utilizará la ley de los cosenos.

\displaystyle {\overrightarrow{R}}^2 = {\overrightarrow{a}}^2 + {\overrightarrow{b}}^2 - 2ab \cos{\theta}

\displaystyle {\overrightarrow{R}}^2 = {(84 \ N)}^2 + {(38 \ N)}^2 - 2(84 \ N)(38 \ N) \cos{60}°

\displaystyle {\overrightarrow{R}}^2 = 7056 \ N^2 + 1444 \ N^2 - 3192 \ N^2

\displaystyle \sqrt{{\overrightarrow{R}}^2} = \sqrt{5308 \ N^2}

\displaystyle \overrightarrow{R} = 72.85 \ N

b) Cálculo de la dirección

\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{\sin{A}} = \frac{\overrightarrow{b}}{\sin{B}} = \frac{\overrightarrow{R}}{\sin{C}}

\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}}{\sin{B}} = \frac{\overrightarrow{R}}{\sin{C}}

\displaystyle \sin{B} = \frac{\overrightarrow{b} \sin{C}}{\overrightarrow{R}}

\displaystyle \sin{B} = \frac{(38 \ N) \sin{60}}{72.85 \ N}

\displaystyle \sin{B} = 0.4517

\displaystyle B = \arcsin{0.4517}

\displaystyle B = 26.85°


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