Superficies cilíndricas. Cálculo vectorial.

Sea $C$ una curva en el plano y sea $L$ una recta no paralela a ese plano. al conjunto de todas las rectas paralelas a $L$ que cortan a $C$ se le llama cilindro. A $C$ se le llama la curva generadora (o la directriz) del cilindro y a las rectas paralelas se les llama rectas generatrices.

La ecuación de la (curva) directriz del cilindro recto mostrado en la figura 1 es

$x^2 + y^2 = a^2$

Esta es la ecuación en plano $xy$ .

Para encontrar una ecuación del cilindro, hay que observar que se puede generar cualquiera de las (rectas) generatrices fijando los valores de $x$ y $y$ dejando que $z$ tome todos los valores reales. Es decir, la ecuación del cilindro es la ecuación de su curva generadora o directriz.

$x^2+y^2=a^2$

La ecuación de un cilindro cuyas rectas generatrices son paralelas a uno de los ejes coordenados contiene sólo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

Problema resuelto

Problema. Trazar la superficie representada por cada una de las ecuaciones

a) $z=y^2$
b) $z=\sin{x}$ , $0 \le x \le 2\pi$

Solución (a). La gráfica es un cilindro cuya directriz, $z=y^2$ , es una parábola en el plano $yz$ . Las generatrices del cilindro son paralelas al eje $x$ , como se observa en la figura 2.

Solución (b). La gráfica es un cilindro generado por la curva del seno en el plano $xz$ . Las generatrices son paralelas al eje $y$ , como se observa en la figura 3.