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Tiro parabólico. Física.

Introducción

El tiro parabólico es un movimiento en dos dimensiones, esto es, puede ser descrito con dos coordenadas, el eje x y el eje y. En estas coordenadas puede observarse el comportamiento que tienen las componentes de la velocidad de cuerpos que viajan en el aire, que fueron lanzados por agentes externos con cierto ángulo de inclinación. Este movimiento proporciona las bases para comprender muchas situaciones, por ejemplo, el balón despejado por un portero efectúa una trayectoria parabólica.

En un tiro parabólico, el cuerpo se lanza con un ángulo de elevación. Es resultado de la combinación de dos movimientos independientes; el primero es un movimiento uniformemente acelerado (MRUA), que se expresa en forma de tiro vertical durante el ascenso y como caída libre desde el momento en que empieza a descender. El segundo es un movimiento horizontal rectilíneo uniforme (MRU), cuya característica es que la velocidad permanece constante todo el recorrido.

El tiro parabólico es un movimiento que se efectúa en dos dimensiones o sobre un plano. Ejemplos de cuerpos que describen este movimiento son: el viaje que hace una pelota de golf en el recorrido a su hijo, la pelota de basquetbol al ser lanzada hacia la canasta, la trayectoria de una pelota de esponja cuando se avienta a otra persona y la trayectoria descrita por un balón de fútbol americano.

Figura 1. Ejemplos donde muestra el tiro parabólico.
Figura 1. Ejemplos donde muestra el tiro parabólico.

En todos estos casos, los cuerpos fueron lanzados con cierto ángulo de elevación. Debido a la fuerza de atracción de la gravedad, alcanzan cierta altura y luego empiezan a descender. El tiro parabólico se logra para velocidades bajas, ya que de ser muy alta el aire tiende a frenar el movimiento alejándolo de esta trayectoria.

Proyectil. Un proyectil es un objeto que carece de fuerzas de propulsión propia, requiere un impulso inicial para moverse por el aire y está sujeto a la influencia de su peso y a la gravedad.

Interpretación gráfica

En la siguiente figura se muestra un esquema de una trayectoria parabólica. Se observa que la velocidad inicial, como todo vector, se separa en sus componentes rectangulares: la componente horizontal, v_x, y la componente vertical, v_y.

Figura 2. Representación gráfica del tiro parabólico.
Figura 2. Representación gráfica del tiro parabólico.

Durante el ascenso, la componente vertical de vector velocidad, v_y, disminuye conforme se eleva, por lo que su magnitud, es cada vez más pequena: se hace cero un momento en el punto más alto y de nuevo empieza a crecer a medida que el cuerpo cae. Por su parte, la velocidad horizontal, v_x, permanece constante, por lo que su magnitud no se altera.

En la trayectoria analizada solo se muestran los puntos de mayor interés para describir este movimiento; por ejemplo cuando se arrojan cajas con alimentos o medicinas desde aviones que se desplazan a poca altura para que caigan en sitios específicos, que por sus características geográficas son poco accesibles o quedaron incomunicados por algún fenómenos meteorológicos, como una inundación. Dichos puntos son:

* Ángulo de disparo: es la inclinación con la que sale impulsado el proyectil. Se mide respecto al plano horizontal.

* Velocidad inicial. Es la velocidad con la que el proyectil emprende el movimiento de tiro parabólico y que es suministrada por un agente externo.

* Altura máxima. Mayor altura que alcanza el objeto, medida desde el plano horizontal desde donde fue efectuado el disparo. En este punto, la componente vertical de la velocidad es cero y solo se presenta componente horizontal.

* Alcance. Es la distancia que recorre el proyectil, medida en sentido horizontal desde el punto inicial de disparo hasta el punto de caída, que se encuentra el mismo nivel que el primero.

* Alcance máximo. Es la mayor distancia horizontal que recorre el proyectil. Se consigue exclusivamente para un ángulo de 45 grados.

Como el tiro parabólico involucra un movimiento rectilíneo uniforme, caída libre y tiro vertical, sus ecuaciones se derivan de las que proponen estos tres movimientos, cambiando por conveniencia la simbología de unas variables por otras. Por ejemplo, para el desplazamiento s horizontal y vertical, se utiliza x y y. La velocidad inicial, v_i, que es un vector, se descompone en su componente rectangular horizontal, v_{ix} que se calcula mediante v_{ix} = v_i \cos{\theta}, y su componente rectangular vertical, v_{iy}, calculada con v_{iy} = v_i \sin{\theta}. La ecuación de altura máxima se obtiene considerando que en este punto no hay componente vertical y, por tanto, v_y = 0. Al ser un movimiento en una sola dirección, se tiene que v_i = v_{iy}, y v_f = v_y. Si todo esto se sustituye en la ecuación de tiro vertical, v_f = v_i - gt, se tiene que v_y = v_{iy} - gt, lo que se convierte en 0 = v_i \sin{\theta} - gt. De esta última se despeja el tiempo invertido en alcanzar la altura máxima,

\displaystyle t' = \frac{v_i \sin{\theta}}{g}

El tiempo total de vuelo es el doble del tiempo anterior (t'), por lo que multiplica por dos y queda

\displaystyle t'' = \frac{2 v_i \sin{\theta}}{g}

Para obtener la expresión de altura máxima, se sustituye el tiempo de altura máxima en la ecuación

\displaystyle h = v_i t - \frac{gt^2}{2}

y como v_i = v_{iy} y v_{iy} = v_i \sin{\theta}, se tiene la expresión

\displaystyle h = v_{iy} t - \frac{gt^2}{2}

que se convierte en

\displaystyle h = (v_i \sin{\theta}) \left(\frac{v_i \sin{\theta}}{g} \right) - \frac{g}{2} \left(\frac{v_i \sin{\theta}}{g} \right)^2

Simplificando

\displaystyle h = \frac{v_i^2 \sin^2{\theta}}{2g}

Debido a que la altura máxima se alcanza para un ángulo de 90° en el que \sin{90} = 1, se obtiene la ecuación sustituyendo esto en la última, quedando que

\displaystyle h_{max} = \frac{v_i^2}{2g}

Para la ecuación de alcance horizontal (A), se considera que y=0 (porque ya no hay desplazamiento vertical, ya que el cuerpo terminó su vuelo), el cual se consigue después de consumir el tiempo total de vuelo (t''). Además, como en la dirección horizontal la velocidad permanece constante, se cumple que v_i = v_{ix} = v_i \cos{\theta}, y mediante el cambio de x por A en la ecuación x = v_{ix} t^{''}, se tiene que

\displaystyle A = v_i \cos{\theta} \left(\frac{2v_i \sin{\theta}}{g} \right)

Procediendo a simplificar y considerar que 2\sin{\theta} \cos{\theta} = \sin{2\theta}, se llega a la expresión

\displaystyle A = \frac{v_i^2 \sin{2\theta}}{g}

para obtener la ecuación del alcance máximo que se logra para un ángulo de disparo de 45°, y por tanto \sin{2\theta} = \sin{(2\cdot 45)} = \sin{90} = 1, que sustituido en la última permite obtener

\displaystyle A_{max} = \frac{v_i^2}{g}

Todas estas ecuaciones del tipo parabólico se agrupan en la tabla siguiente.

Problemas resueltos

Problema 1. En el futbol americano, un pateador le imprime al balón una velocidad de 20 (m/s) con un ángulo de elevación de 37° medido respecto a la horizontal. Calcular:

  • a) Altura
  • b) Alcance
  • c) Tiempo que el balón permanece en el aire.
Figura 1. Jugador pateando el balón formando una parábola.
Figura 1. Jugador pateando el balón formando una parábola.

Solución. El movimiento es parabólico, ya que la velocidad y la trayectoria presentan dos componentes, la componente vertical y la componente horizontal.

Los datos son v_i = 20 \ (m/s), \theta = 37° y g = 9.81 \ (m/s^2)

Solución a. La altura se determina utilizando la siguiente fórmula

\displaystyle h = \frac{v_i^2 \sin^2{\theta}}{2g}

\displaystyle h = \frac{(20 \ m/s)^2 (\sin{37})^2}{2(9.81 \ m/s^2)}

\displaystyle h = 7.384 \ (m)

Solución b). La máxima altura que alcanza el cuerpo para éste ángulo de disparo, aquí termina tiro vertical e inicia caída libre. En este punto la velocidad es cero (v_y = 0). Entonces

\displaystyle A = \frac{v_i^2 \sin{2\theta}}{g}

\displaystyle A = \frac{(20 \ m/s)^2 \sin{(2\cdot 37)}}{9.81 \ m/s^2}

\displaystyle \therefore A = 39.195 \ (m)

Este resultado representa la distancia a la que cae el proyectil medida desde el punto de disparo.

Solución c). El tiempo total de vuelo se calcula mediante la fórmula

\displaystyle t'' = \frac{2v_i \sin{\theta}}{g}

Sustituyendo

\displaystyle t'' = \frac{2(20 \ m/s) \sin{37}}{9.81}

\displaystyle \therefore t'' = 2.45 \ (s)

Este tiempo representa el consumido desde el inicio del movimiento, el usado para alcanzar su altura máxima y el que invierte al descender hasta impactarse.

Problema 2. Con una inclinación de 35° y la velocidad de 118 (m/s), una máquina lanza-proyectiles utilizada para la práctica de tiro efectúa un disparo. Calcular:

  • a) Componentes de la velocidad al inciso de disparo.
  • b) Posición del proyectil al transcurrir 6 (s).
  • c) Velocidad que presenta a los 6(s).
  • d) Tiempo en que logra la máxima altura.
  • e) Tiempo total del vuelo.
  • f) Alcance logrado.
Figura 2. Una máquina lanza-proyectiles lanzando un balón y va formando una parábola.
Figura 2. Una máquina lanza-proyectiles lanzando un balón y va formando una parábola.

Solución. Los datos son v_i = 118 \ (m/s), \theta=35°, t=6 \ (s) y g=9.81 \ (m/s^2).

Solución a). La componente horizontal es

v_{ix} = v_i \cos{\theta}

v_{ix} = (118 \ m/s) \cos{35}

\therefore v_{ix} = 96.66 \ (m/s)

Y la componente vertical es

v_{iy} = v_i \sin{\theta}

v_{iy} = (118) \sin{35}

\therefore v_{iy} = 67.682 \ (m/s)

Al ser la velocidad inicial un vector, ésta tiene dos componentes, una horizontal y otra vertical. La horizontal (v_{ix}) permanece constante a lo largo de todo el movimiento, ya que es un movimiento rectilíneo uniforme. Sin embargo, la componente vertical (v_{iy}) sólo presenta este valor al inicio.

Solución b). La posición en el eje x es

x = v_{ix} t

x = (96.66 \ m/s)(6 \ s)

x = 579.96 \ (m/s)

La posición en el eje y es

\displaystyle y = v_{iy} t - \frac{gt^2}{2}

\displaystyle y = (67.682 \ m/s)(6 \ s) - \frac{(9.81 \ m/s^2)(6 \ s)^2}{2}

y = 406.092 \ m- 176.58 \ m

y = 229.512 \ m

Estos dos valores de trayectoria, horizontal y vertical, corresponden a las coordenadas del punto que el proyectil (balón) tiene al transcurrir un tiempo de 6 (s) de iniciado su vuelo.

Solución c). Para conocer la velocidad que tiene el proyectil en cierto tiempo, al ser un vector, es necesario calcular las componentes rectangulares a los 6 (s). La velocidad en el eje «x» (velocidad horizontal) es

v_x = v_{ix}

v_x = 96.66 \ (m/s)

Y la velocidad en el eje «y» (velocidad vertical) es

v_y = v_{iy} - gt

v_y = 67.682 \ (m/s) - (9.81 \ m/s^2)(6 \ s)

v_y = 67.682 \ (m/s) - 58.86 \ (m/s)

v_y = 8.822 \ (m/s)

La velocidad es

\displaystyle v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

\displaystyle v = \sqrt{(96.66 \ m/s)^2 + (8.822 \ m/s)^2}

\displaystyle \therefore v = 97.062 \ (m/s)

Solución d). El tiempo invertido para alcanzar la altura máxima es

\displaystyle t' = \frac{v_{iy}}{g}

\displaystyle t' = \frac{67.682 \ m/s}{9.81 \ m/s^2}

\displaystyle \therefore t' = 6.9 \ (s)

Solución e). El tiempo total que invierte el proyectil en realizar su vuelo desde que lo inicia hasta que se impacta nuevamente en el suelo es

t'' = 2t'

t'' = 2(6.9 \ s)

\therefore t'' = 13.8 \ (s)

Solución f). La distancia horizontal que recorre el proyectil, medida desde que inicia su vuelo hasta que se impacta en la tierra, es

A = v_{ix} t''

A = (96.66 \ m/s)(13.8 \ s)

\therefore A = 1333.908 \ (m)


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