cálculo vectorial

Vectores paralelos y puntos colineales. Cálculo vectorial.

Introducción

Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c tal que u=cv.

Figura 1. Representación gráfica de vectores paralelos.

Problemas resueltos

Problema 1. El vector \bold{w} tiene punto inicial (2,-1,3) y punto final (-4,7,5). ¿Cuál de los vectores siguientes es paralelo a \bold{w}?

  • a) u = (3,-4,-1)
  • b) v = (12,-16,4)

Solución. De los puntos inicial (2, -1, 3) y final (-4, 7, 5) se genera el vector w:

\bold{w} = [-4 - 2, 7 - (-1), 5 - 3)]

\bold{w} = (-6, 8, 2)

Solución a). Sabiendo que

\bold{u} = c \bold{w}

(3, -4, -1) = c(-6, 8, 2)

Para x:

3 = -6c

\displaystyle c = -\frac{1}{2}

Para y:

-4 = 8c

\displaystyle c = -\frac{1}{2}

Para z:

-1 = 2c

\displaystyle c = -\frac{1}{2}

Como todos los valores para x, y y z concuerdan:

\bold{u} = c \bold{w}

(3,-4,-1) = c(-6, 8, 2)

\displaystyle (3,-4,-1) = -\frac{1}{2} (-6, 8, 2)

El vector u es paralelo a w:

\displaystyle \therefore \bold{u} = -\frac{1}{2} \bold{w}

Solución b). Sabiendo que

\bold{u} = c \bold{w}

(12,-16,4) = c(-6, 8, 2)

Para x:

12 = -6c

\displaystyle c = -2

Para y:

-16 = 8c

c = -2

Para z:

4 = 2c

c = 2

Como no hay un c para el cual la ecuación tenga solución, los vectores no son paralelos.

Problema 2. Determinar si los puntos P(1, -2, 3), Q(2, 1, 0) y R(4, 7, -6) son colineales.

Solución. Para el segmento \overrightarrow{PQ}, el vector generado es

\overrightarrow{PQ} = [2-1,1-(-2),0-3]

\overrightarrow{PQ} = (1,3,-3)

y para el segmento \overrightarrow{PR}

\overrightarrow{PR} = [4-1,7-(-2),-6-3]

\overrightarrow{PR} = (3,9,-9)

Después, se halla el valor del escalar c

\overrightarrow{PQ} = c \overrightarrow{PR}

(1, 3, -3) = c(3, 9, -9)

Para las coordenadas de x

1=c(3)

\displaystyle c = \frac{1}{3}

Para las coordenadas de y

3 = c (9)

\displaystyle c = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Para las coordenadas de z

-3 = c(-9)

\displaystyle c = \frac{(-3)}{(-9)} = \frac{1}{3}

Entonces

\displaystyle \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{3} \overrightarrow{PR}

\overrightarrow{PR}=3\overrightarrow{PQ}

Estos dos vectores tiene un mismo punto inicial común. Por tanto, P, Q y R están en la misma recta si y sólo si \overrightarrow{PQ} y \overrightarrow{PR} son paralelos ya que \overrightarrow{PR} = 3 \overrightarrow{PQ}.

Figura 2. Representando los puntos P, Q y R en la misma recta. Nodo Universitario de la Universidad de Guanajuato, Introducción a la geometría analítica del espacio. [Figura]. Recuperado de: https://oa.ugto.mx

Problema 3.

a) Expresar el vector v = 4i – 5k por medio de sus componentes.

b) Encontrar el punto final del vector v = 7i j + 3k, dado que el punto inicial es P(-2, 3, 5).

Solución a). Recordando que el vector se puede expresar en combinación lineal

\bold{v} = {v}_{1} \bold{i} + {v}_{2} \bold{j} =({v}_{1},{v}_{2})

\bold{v} = 4 \bold{i} - 5\bold{k} = 4\bold{i} +0\bold{j} - 5\bold{k}

\therefore \bold{v} = (4, 0, -5)

Solución b). Al llamar a Q({q}_{1},{q}_{2},{q}_{3}) como punto final y, P(-2, 3, 5) y \bold{v} = 7\bold{i} - \bold{j} + 3\bold{k} = (7, -1, 3), se realiza lo siguiente

\bold{v} = ({q}_{1} - {p}_{1}, {q}_{2} - {p}_{2})

7\bold{i} - \bold{j} + 3\bold{k} = [{q}_{1} - (-2), {q}_{2} - 3,{q}_{3} - 5]

(7, -1, 3) = ({q}_{1} + 2, {q}_{2} - 3,{q}_{3} - 5)

Para q_1, se tiene que

7 = {q}_{1} + 2

{q}_{1} = 7 - 2 = 5

{q}_{1} = 5

Para q_2, se tiene que

-1 = {q}_{2} - 3

{q}_{2} = -1 + 3 = 2

{q}_{2} = 2

Para q_3, se tiene que

3 = {q}_{3} - 5

{q}_{3} = 3 + 5 = 8

{q}_{3} = 8

Por lo tanto el punto final (asignado como Q) del vector \bold{v} = 7 \bold{i} - \bold{j} + 3 \bold{k} es

\therefore Q({q}_{1},{q}_{2},{q}_{3}) = Q(5, 2, 8)


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