Vectores paralelos y puntos colineales. Cálculo vectorial.

Introducción

Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c tal que u=cv.

Figura 1. Representación gráfica de vectores paralelos.

Problemas resueltos

Problema 1. El vector $\bold{w}$ tiene punto inicial (2,-1,3) y punto final (-4,7,5). ¿Cuál de los vectores siguientes es paralelo a $\bold{w}$ ?

a) u = (3,-4,-1)
b) v = (12,-16,4)

Solución. De los puntos inicial (2, -1, 3) y final (-4, 7, 5) se genera el vector w:

$\bold{w} = [-4 - 2, 7 - (-1), 5 - 3)]$

$\bold{w} = (-6, 8, 2)$

Solución a). Sabiendo que

$\bold{u} = c \bold{w}$

$(3, -4, -1) = c(-6, 8, 2)$

Para $x$ :

$3 = -6c$

$\displaystyle c = -\frac{1}{2}$

Para $y$ :

$-4 = 8c$

$\displaystyle c = -\frac{1}{2}$

Para $z$ :

$-1 = 2c$

$\displaystyle c = -\frac{1}{2}$

Como todos los valores para $x$ , $y$ y $z$ concuerdan:

$\bold{u} = c \bold{w}$

$(3,-4,-1) = c(-6, 8, 2)$

$\displaystyle (3,-4,-1) = -\frac{1}{2} (-6, 8, 2)$

El vector u es paralelo a w:

$\displaystyle \therefore \bold{u} = -\frac{1}{2} \bold{w}$

Solución b). Sabiendo que

$\bold{u} = c \bold{w}$

$(12,-16,4) = c(-6, 8, 2)$

Para $x$ :

$12 = -6c$

$\displaystyle c = -2$

Para $y$ :

$-16 = 8c$

$c = -2$

Para $z$ :

$4 = 2c$

$c = 2$

Como no hay un $c$ para el cual la ecuación tenga solución, los vectores no son paralelos.

Problema 2. Determinar si los puntos P(1, -2, 3), Q(2, 1, 0) y R(4, 7, -6) son colineales.

Solución. Para el segmento $\overrightarrow{PQ}$ , el vector generado es

$\overrightarrow{PQ} = [2-1,1-(-2),0-3]$

$\overrightarrow{PQ} = (1,3,-3)$

y para el segmento $\overrightarrow{PR}$

$\overrightarrow{PR} = [4-1,7-(-2),-6-3]$

$\overrightarrow{PR} = (3,9,-9)$

Después, se halla el valor del escalar c

$\overrightarrow{PQ} = c \overrightarrow{PR}$

$(1, 3, -3) = c(3, 9, -9)$

Para las coordenadas de $x$

$1=c(3)$

$\displaystyle c = \frac{1}{3}$

Para las coordenadas de $y$

$3 = c (9)$

$\displaystyle c = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Para las coordenadas de $z$

$-3 = c(-9)$

$\displaystyle c = \frac{(-3)}{(-9)} = \frac{1}{3}$

Entonces

$\displaystyle \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{3} \overrightarrow{PR}$

$\overrightarrow{PR}=3\overrightarrow{PQ}$

Estos dos vectores tiene un mismo punto inicial común. Por tanto, $P$ , $Q$ y $R$ están en la misma recta si y sólo si $\overrightarrow{PQ}$ y $\overrightarrow{PR}$ son paralelos ya que $\overrightarrow{PR} = 3 \overrightarrow{PQ}$ .

Figura 2. Representando los puntos P, Q y R en la misma recta. Nodo Universitario de la Universidad de Guanajuato, Introducción a la geometría analítica del espacio. [Figura]. Recuperado de: https://oa.ugto.mx

Problema 3.

a) Expresar el vector v = 4i – 5k por medio de sus componentes.

b) Encontrar el punto final del vector v = 7i – j + 3k, dado que el punto inicial es $P(-2, 3, 5)$ .

Solución a). Recordando que el vector se puede expresar en combinación lineal

$\bold{v} = {v}_{1} \bold{i} + {v}_{2} \bold{j} =({v}_{1},{v}_{2})$

$\bold{v} = 4 \bold{i} - 5\bold{k} = 4\bold{i} +0\bold{j} - 5\bold{k}$

$\therefore \bold{v} = (4, 0, -5)$

Solución b). Al llamar a $Q({q}_{1},{q}_{2},{q}_{3})$ como punto final y, $P(-2, 3, 5)$ y $\bold{v} = 7\bold{i} - \bold{j} + 3\bold{k} = (7, -1, 3)$ , se realiza lo siguiente