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Lineas de transmisión. Problemas de valor frontera. Laplace.

Introducción

Sus ecuaciones a estudiar son

\displaystyle \frac{\partial e}{\partial x} = - R \ i(x,t) - L \frac{\partial i}{\partial t}

\displaystyle \frac{\partial i}{\partial x} = - G \ e(x,t) - C \frac{\partial e}{\partial t}

Son ecuaciones simultáneas para la corriente i y el voltaje e de una línea de transmisión (figura 1) en cualquier posición x y cualquier tiempo t. Las constantes R, L, G y C son respectivamente la resistencia, la inductancia, la conductividad y la capacidad por unidad de longitud. El extremo x=0 se llama el extremo emisor. Cualquier otro valor de x puede considerarse como extremo receptor.

Figura 1. Representación de la línea de transmisión junto con las variables a considerar.

Problema resuelto

Problema. Una línea de transmisión de inductancia y conductancia por unidad de longitud despreciables tiene un voltaje en su extremo emisor, x=0, dado por

\displaystyle E (0,t) = \left\{\begin{matrix} E_0 & 0<t<T \\ 0 & t > T \end{matrix} \right.

Hallar el voltaje e(x.t) y la corriente i (x,t) sobre cualquier punto x>0 en cualquier punto t>0.

Solución. Tomando L=0 y G=0, las ecuaciones de la línea de transmisión será

\displaystyle \frac{\partial e}{\partial x} = - R \ i - L \frac{\partial i}{\partial t} y \displaystyle \frac{\partial i}{\partial x} = - G \ e - C \frac{\partial e}{\partial t}

\displaystyle \frac{\partial e}{\partial x} = - R \ i y \displaystyle \frac{\partial i}{\partial x} = - C \frac{\partial e}{\partial t}

Las condiciones de frontera son

e(x,0) = 0, i(x,0)=0, \displaystyle e(0,t) = \left\{\begin{matrix} E_0 & 0<t<T \\ 0 & t>T \end{matrix} \right.

Las transformadas de Laplace de las ecuaciones de las lineas de transmisión son

\displaystyle \mathcal{L} \left[\frac{\partial e}{\partial x} \right] = - R \mathcal{L} [i(x,t)] y \displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\partial i}{\partial x} \right] = - C \mathcal{L} \left[\frac{\partial e}{\partial t} \right]

\displaystyle \frac{dE}{dx} = - R  I(x,s) y \displaystyle \frac{dI}{dx} = - C s E(x,s) + Ce(x,0)

\displaystyle \frac{dE}{dx} = - R  I(x,s) y \displaystyle \frac{dI}{dx} = - C s E(x,s) + Ce(0)

\displaystyle \frac{dE}{dx} = - R  I(x,s) y \displaystyle \frac{dI}{dx} = - C s E(x,s)

Derivando la primera ecuación con respecto a x

\displaystyle \frac{d^2 E}{{dx}^2} = - R \frac{dI}{dx}

Luego

\displaystyle \frac{d^2 E}{{dx}^2} = - R [-Cs E(x,s)]

\displaystyle \frac{d^2 E}{{dx}^2} = RCs E(x,s)

\displaystyle \frac{d^2 E}{{dx}^2} - RCs E(x,s) = 0

La solución general de esta ecuación diferencial es

\displaystyle E(x,s)=C_1 e^{\sqrt{RCs} x} + C_2 e^{-\sqrt{RCs} x}

Por la condición de acotación, C_1 = 0. Entonces

\displaystyle E(x,s)=(0) e^{\sqrt{RCs} x} + C_2 e^{-\sqrt{RCs} x}

\displaystyle E(x,s) = C_2 e^{-\sqrt{RCs} x}

Ahora, se recomienda escribir e(0,t) = g(t) y \mathcal{L} [e(0,t)] = E(0,s) = G(s). Entonces,

\displaystyle E(x,s) = C_2 e^{-\sqrt{RCs} x}

\displaystyle E(0,s) = C_2 e^{-\sqrt{RC(0)} x}

\displaystyle G(s) = C_2

Luego

\displaystyle E(x,s) = C_2 e^{-\sqrt{RCs} x}

\displaystyle E(x,s) = G(s) \ e^{-\sqrt{RCs} x}

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [E(x,s)] = \mathcal{L}^{-1} [G(s) \ e^{-\sqrt{RCs} x}]

\displaystyle e(x,t) = \int_0^t{\frac{x \sqrt{RC}}{2 \sqrt{\pi}} u^{-3/2} e^{-RCx^2/4u} g(t-u) \ du}

Para la función g(t-u)

\displaystyle g(t-u) = \left\{ \begin{matrix} E_0 & 0<t-u<T \\ 0 & t-u>T \end{matrix} \right.

Se deduce que si t>T,

\displaystyle e(x,t) = \int_0^t{\frac{x \sqrt{RC}}{2 \sqrt{\pi}} u^{-3/2} e^{-RCx^2/4u} g(t-u) \ du}

\displaystyle e(x,t) = \int_{t-T}^{t}{\frac{x \sqrt{RC}}{2 \sqrt{\pi}} u^{-3/2} e^{-RCx^2/4u} \cdot E_0 \ du}

Haciendo \displaystyle v^2 = \frac{RCx^2}{4u}

\displaystyle e(x,t) = \frac{2E_0}{\sqrt{\pi}} \int_{x\sqrt{RC}/2\sqrt{t}}^{x\sqrt{RC}/2\sqrt{t-T}}{e^{-v^2} \ dv}

\displaystyle e(x,t) = \frac{2E_0}{\sqrt{\pi}} \left[\int_{0}^{x\sqrt{RC}/2\sqrt{t-T}}{e^{-v^2} \ dv} + \int_{x\sqrt{RC}/2\sqrt{t}}^{0}{e^{-v^2} \ dv} \right]

\displaystyle e(x,t) = \frac{2E_0}{\sqrt{\pi}} \left[\int_{0}^{x\sqrt{RC}/2\sqrt{t-T}}{e^{-v^2} \ dv} - \int_{0}^{x\sqrt{RC}/2\sqrt{t}}{e^{-v^2} \ dv} \right]

\displaystyle e(x,t) = E_0 \left[\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x\sqrt{RC}/2\sqrt{t-T}}{e^{-v^2} \ dv} - \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x\sqrt{RC}/2\sqrt{t}}{e^{-v^2} \ dv} \right]

\displaystyle e(x,t) = E_0 \left[\text{fer} \left(\frac{x\sqrt{RC}}{2\sqrt{t-T}} \right) - \text{fer} \left(\frac{x\sqrt{RC}}{2\sqrt{t}} \right) \right]

En tanto que si 0<t<T,

\displaystyle e(x,t) = \int_{0}^{t}{\frac{x \sqrt{RC}}{2 \sqrt{\pi}} u^{-3/2} e^{-RCx^2/4u} \cdot E_0 \ du}

Haciendo \displaystyle v^2 = \frac{RCx^2}{4u}

\displaystyle e(x,t) = \frac{2E_0}{\sqrt{\pi}} \int_{x\sqrt{RC}/2\sqrt{t}}^{\infty}{e^{-v^2} \ dv}

\displaystyle e(x,t) = E_0 \left[ 1 - \text{fer} \left(\frac{x \sqrt{RC}}{2 \sqrt{t}} \right) \right]

Así que, el voltaje esperado es

\displaystyle \therefore e(x,t) = \left\{ \begin{matrix} E_0 \left[ 1 - \text{fer} \left(\frac{x \sqrt{RC}}{2 \sqrt{t}} \right) \right] & 0 < t < T \\ E_0 \left[\text{fer} \left(\frac{x\sqrt{RC}}{2\sqrt{t-T}} \right) - \text{fer} \left(\frac{x\sqrt{RC}}{2\sqrt{t}} \right) \right] & t>T \end{matrix} \right.

Para obtener la corriente sobre cualquier punto x>0, solo basta con utilizar la fórmula

\displaystyle i(x,t) = - \frac{1}{R} \frac{\partial e}{\partial x}

Finalmente,

\displaystyle \therefore i(x,t) = \left\{ \begin{matrix} \frac{E_0 x}{2 \sqrt{\pi}} \sqrt{\frac{C}{R}}t^{-3/2} e^{-RCx^2/4t} & 0<t<T \\ \frac{E_0 x}{2 \sqrt{\pi}} \sqrt{\frac{C}{R}} \left[t^{-3/2} e^{-RCx^2/4t} - {(t-T)}^{-3/2} e^{-RCx^2/4(t-T)}\right] & t>T \end{matrix} \right.


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