Introducción a los problemas de valor frontera. Laplace.

Introducción

Varios problemas de la ciencia y la ingeniería al ser formulados matemáticamente conducen a ecuaciones diferenciales parciales que involucran una o más funciones incógnitas junto con ciertas condiciones, provenientes de situaciones físicas, para dichas funciones.

Las condiciones se llaman condiciones de frontera. El problema de encontrar soluciones para una ecuación que satisface ciertas de frontera se llama un problema de valor frontera.

Algunas ecuaciones diferenciales parciales importantes

1. Ecuación de conducción de calor en una dimensión

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

$u(x,t)$ es la temperatura de un sólido en el punto $x$ en un tiempo $t$ . La constante $k$ , llamada difusión, es igual a $K/c {\rho}$ donde la conductividad térmica $K$ , el calor específico $c$ y la densidad (masa por unidad de volumen) $\rho$ se suponen constantes. La cantidad de calor por unidad de área conducida a través de un plano en la unidad de tiempo está dada por $-K u_x (x,t)$ .

2. Ecuación de onda en una dimensión

$\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$

Se aplica a vibraciones transversales pequeñas de una cuerda flexible tensa localizada inicialmente sobre el eje $x$ y puesta en movimiento (figura 8.1.1). La variable $y(x,t)$ es el desplazamiento de cualquier punto $x$ de la cuerda en el tiempo $t$ . La constante $a_2 = T/\rho$ , donde $T$ es la tensión (constate) y $P$ es la masa por unidad de longitud (constante) de la cuerda.

3. Vibraciones longitudinales de una viga

$\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$

Esta ecuación describe el movimiento de una viga (figura 8.1.2) que puede vibrar longitudinalmente (es decir, en la dirección $x$ ). La variable $y(x,t)$ es el desplazamiento longitudinal desde la posición de equilibrio del corte seccional en $x$ . La constante $c^2 = gE/\rho$ donde $g$ es la aceleración de la gravedad$, $E$ , es el módulo de elasticidad (esfuerzo dividido por alargamiento) que depende de las propiedades de la viga, $\rho$ es la densidad (masa por unidad de volumen) de la viga.

4. Vibraciones transversales de una viga

$\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} + b^2 \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} = 0$

Esta ecuación describe el movimiento de una viga (localizada inicialmente sobre el eje $x$ , figura 8.1.3) la cual vibra transversalmente (o sea en dirección perpendicular al eje $x$ ). En este caso, $y(x,y)$ es el desplazamiento transversal o deflexión sobre cualquier punto $x$ en cualquier tiempo $t$ . La constante $b^2 = EIg/\rho$ donde $E$ es el módulo de elasticidad, $I$ es el momento de inercia de cualquier sección transversal con relación al eje $x$ , $g$ es la aceleración de la gravedad y $\rho$ es la masa por unidad de longitud$. En el caso en que se aplica una fuerza transversal externa $f(x,t)$ , el miembro derecho de la ecuación se reemplaza por $b^2 f(x,t)/EI$ .

5. Conducción del calor de un cilindro

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = k \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \right)$

$u(x,t)$ es la temperatura en cualquier tiempo $t$ de un punto del sólido cilíndrico que está a una distancia $r$ del eje $x$ . Aquí se supondrá que el flujo de calor se representa solamente en dirección radial.

6. Líneas de transmisión

$\displaystyle \frac{\partial e}{\partial x} = - R \ i - L \frac{\partial i}{\partial t}$

$\displaystyle \frac{\partial i}{\partial x} = - G \ e - C \frac{\partial e}{\partial t}$

Son ecuaciones simultáneas para la corriente $i$ y el voltaje $e$ de una línea de transmisión (figura 8.1.4) en cualquier posición $x$ y cualquier tiempo $t$ . Las constantes $R$ , $L$ , $G$ y $C$ son respectivamente la resistencia, la inductancia, la conductividad y la capacidad por unidad de longitud. El extremo $x=0$ se llama el extremo emisor. Cualquier otro valor de $x$ puede considerarse como extremo receptor.

Solución de problemas de valor frontera mediante transformadas de Laplace

Al hacer uso de la transformación de Laplace (con respecto a $t$ o $x$ ) en un problema de valor frontera en una dimensión, las ecuaciones diferenciales parciales pueden transformarse en ordinarias. La solución puede obtenerse resolviendo esta ecuación ordinaria e invirtiendo, bien sea por la fórmula de inversión, o bien por cualquiera de los otros métodos.

Para problemas en dos dimensiones es a veces conveniente aplicar dos veces la transformada de Laplace (por ejemplo, primero con respecto a $t$ y después con respecto a $x$ ) y llegar a una ecuación diferencial ordinaria. En tal caso, la solución se encuentra por una doble inversión. Este proceso se conoce con el nombre de trasformación iterada de Laplace. Puede aplicarse una técnica similar en problemas de tres (o más) dimensiones. Los problemas de valor frontera pueden resolverse a veces mediante el uso combinado de transformadas de Fourier y de Laplace.