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Identidad de Parseval en las series de Fourier. Laplace.

La identidad de Parseval establece que

\displaystyle \frac{1}{l} \int_{-l}^{l}{|f(x)|^2 \, dx} = \frac{1}{2} a_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty}{(a_n^2 + b_n^2)}

donde a_n y b_n están determinadas por

\displaystyle a_n = \frac{1}{l} \int_{c}^{c + 2l}{f(x) \cos{\frac{n \pi x}{l}} \, dx} – – – (2)

\displaystyle b_n = \frac{1}{l} \int_{c}^{c + 2l}{f(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}} \, dx} – – – (3)

Una consecuencia importante es:

\displaystyle \lim_{n \rightarrow -\infty}{f(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}} \, dx} = 0

\displaystyle \lim_{n \rightarrow -\infty}{f(x) \cos{\frac{n \pi x}{l}} \, dx} = 0

que se conoce como el teorema de Riemann.

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