Forma polar y operaciones con números complejos. Laplace.

Números complejos

Un número complejo $x+iy$ se considera como un par ordenado $(x,y)$ , entonces, se puede representar tales números por puntos del plano $xy$ llamado plano complejo o diagrama de Argand. Por la figura 1, se observa que

$x = r \cos{\theta}$

$y = r \sin{\theta}$

donde $\displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2} = |x+iy|$ y el ángulo $\theta$ que forma la línea $OP$ con la semirecta positiva del eje x se llama la amplitud o el argumento. Además

$z = x + iy = r \cos{\theta} + i r \sin{\theta}$

$z = r(\cos{\theta} + i \sin{\theta})$

que se denomina la forma polar del número complejo, $r$ y $\theta$ se llaman coordenadas polares. El autor (R Spiegel, 1996) menciona que una forma conveniente de escribir la expresión $\cos{\theta} + i \sin{\theta}$ es $cis \theta$ .

Plano complejo o diagrama de Argand.jpg — *Figura 1. Diagrama de Argand donde se representa el punto y sus ecuaciones (magnitud, dirección y sentido).*

Operaciones en forma polar y teorema de De Moivre

Si $z_1 = x_1 + i y_1 = r_1 (\cos{\theta_1} + i \sin{\theta_1})$ y $z_2 = x_2 + i y_2 = r_2 (\cos{\theta_2} + i \sin{\theta_2})$ , las operaciones son las siguientes:

$z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos{(\theta_1 + \theta_2)} + i \sin{(\theta_1+ \theta_2)}]$

$\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos{(\theta_1 - \theta_2)} + i \sin{(\theta_1 - \theta_2)}]$

El teorema de De Moivre es

$z^n = r^n [\cos{(n \theta)} + i \sin{(n \theta)}]$

La fórmula de Euler es

$\displaystyle e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$

Si se puede escribir las operaciones en términos de la fórmula de Euler

$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

$\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$

Y para el teorema de De Moivre

$z^n = r^n e^{i n \theta}$

Raíces de los números complejos

Si $n$ es un número positivo, por medio del teorema de De Moivre se tiene que

$\displaystyle \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot \sqrt[n]{ \cos{\theta} + i\sin{\theta}}$

$\displaystyle z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} \left[ \cos{\left(\frac{\theta + 2k \pi}{n}\right)} + i\sin{\left(\frac{\theta + 2k \pi}{n}\right)} \right]$

donde $k = 0, 1, 2, 3, \cdots$

O también, en forma equivalente

$\displaystyle z^{\frac{1}{n}} = {r}^{\frac{1}{n}} e^{i(\frac{\theta + 2k\pi}{n})}$

de donde se deduce que hay $n$ valores diferentes para $z^{1/n}$ y que también es posible extender este resultado para el caso $z^{m/n}$ donde $m=2,3,4,5, \cdots$ .