blog, laplace

Forma polar y operaciones con números complejos. Laplace.

Números complejos

Un número complejo x+iy se considera como un par ordenado (x,y), entonces, se puede representar tales números por puntos del plano xy llamado plano complejo o diagrama de Argand. Por la figura 1, se observa que

x = r \cos{\theta}

y = r \sin{\theta}

donde \displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2} = |x+iy| y el ángulo \theta que forma la línea OP con la semirecta positiva del eje x se llama la amplitud o el argumento. Además

z = x + iy = r \cos{\theta} + i r \sin{\theta}

z = r(\cos{\theta} + i \sin{\theta})

que se denomina la forma polar del número complejo, r y \theta se llaman coordenadas polares. El autor (R Spiegel, 1996) menciona que una forma conveniente de escribir la expresión \cos{\theta} + i \sin{\theta} es cis \theta.

Plano complejo o diagrama de Argand.jpg
Figura 1. Diagrama de Argand donde se representa el punto y sus ecuaciones (magnitud, dirección y sentido).

Operaciones en forma polar y teorema de De Moivre

Si z_1 = x_1 + i y_1 = r_1 (\cos{\theta_1} + i \sin{\theta_1}) y z_2 = x_2 + i y_2 = r_2 (\cos{\theta_2} + i \sin{\theta_2}), las operaciones son las siguientes:

z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos{(\theta_1 + \theta_2)} + i \sin{(\theta_1+ \theta_2)}]

\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos{(\theta_1 - \theta_2)} + i \sin{(\theta_1 - \theta_2)}]

El teorema de De Moivre es

z^n = r^n [\cos{(n \theta)} + i \sin{(n \theta)}]

La fórmula de Euler es

\displaystyle e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}

Si se puede escribir las operaciones en términos de la fórmula de Euler

z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}

\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}

Y para el teorema de De Moivre

z^n = r^n e^{i n \theta}

Raíces de los números complejos

Si n es un número positivo, por medio del teorema de De Moivre se tiene que

\displaystyle \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot \sqrt[n]{ \cos{\theta} + i\sin{\theta}}

\displaystyle z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} \left[ \cos{\left(\frac{\theta + 2k \pi}{n}\right)} + i\sin{\left(\frac{\theta + 2k \pi}{n}\right)} \right]

donde k = 0, 1, 2, 3, \cdots

O también, en forma equivalente

\displaystyle z^{\frac{1}{n}} = {r}^{\frac{1}{n}} e^{i(\frac{\theta + 2k\pi}{n})}

de donde se deduce que hay n valores diferentes para z^{1/n} y que también es posible extender este resultado para el caso z^{m/n} donde m=2,3,4,5, \cdots.


Deja una respuesta

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Salir /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Salir /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Salir /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.