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Ecuaciones diferenciales de diferencias. Laplace.

Introducción

Una ecuación diferencial de diferencias es una ecuación diferencial que presenta derivadas de la función y(t). Un ejemplo sería

y'(t) = y(t-1) + 2t

Es posible encontrar también ecuaciones integro-diferenciales de diferencias, las cuales son ecuaciones diferenciales de diferencias en las cuales la función incógnita aparece bajo el signo de la integral.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver \displaystyle y'(t) + y(t-1) = t^2 si y(t)=0 para t \le 0.

Solución. Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros,

\displaystyle y'(t) + y(t-1) = t^2

\displaystyle \mathcal{L} [y'(t) + y(t-1)] = \mathcal{L} [t^2]

\displaystyle \mathcal{L} [y'(t)] + \mathcal{L} [y(t-1)] = \mathcal{L} [t^2]

\displaystyle s Y(s) - y(0) + e^{-s} Y(s) = \frac{2!}{s^3}

\displaystyle s Y(s) - (0) + e^{-s} Y(s) = \frac{2}{s^3}

\displaystyle s Y(s) + e^{-s} Y(s) = \frac{2}{s^3}

Despejando Y(s),

\displaystyle (s + e^{-s}) Y(s) = \frac{2}{s^3}

\displaystyle Y(s) = \frac{2}{s^3 (s + e^{-s})}

\displaystyle Y(s) = \frac{2}{s^3 \cdot s (1 + \frac{e^{-s}}{s})}

\displaystyle Y(s) = \frac{2}{s^4 (1 + \frac{e^{-s}}{s})}

\displaystyle Y(s) = \frac{2}{s^4} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{e^{-s}}{s})}

\displaystyle Y(s) = \frac{2}{s^4} \left(1 - \frac{e^{-s}}{s} + \frac{e^{-2s}}{s^2} - \frac{e^{-3s}}{s^3} + \cdots \right)

\displaystyle Y(s) = 2 \left(\frac{1}{s^4} - \frac{e^{-s}}{s^5} + \frac{e^{-2s}}{s^6} - \frac{e^{-3s}}{s^7} + \cdots \right)

\displaystyle Y(s) = 2 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-ns}}{s^{n+4}}}

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos lados,

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = 2 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-ns}}{s^{n+4}}} \right]

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = 2 \ \sum_{n=0}^{\infty}{\left\{\mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-ns}}{s^{n+4}} \right] \right\}}

Analizando la función dentro de la suma,

\displaystyle  \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-ns}}{s^{n+4}} \right] = \left\{ \begin{matrix} \frac{{(t-n)}^{n+3}}{(n+3)!} & t \ge n\\ 0 & \text{de otra manera} \end{matrix} \right.

Así que, el resultado final es

\displaystyle \therefore y(t) = 2 \ \sum_{n=0}^{[t]}{ \frac{{(t-n)}^{n+3}}{(n+3)!}}

donde [t] representa el mayor entero menor o igual a t.


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