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Ecuaciones integro-diferenciales y la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Una ecuación integro-diferencial es aquella en la cual se presentan derivadas de la función incógnita y(t). Una ecuación integro-diferencial se puede presentar de la siguiente manera

\displaystyle y''(t) = y(t) + \sin{t} + \int_{0}^{t}{\cos{(t-u)} y(u) du}

La solución de dichas ecuaciones, sometidas a condiciones iniciales dadas, frecuentemente puede obtenerse mediante la transformada de Laplace.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver \displaystyle y'(t) + 5 \int_0^t{\cos{2(t-u)} \ y(u) \ du} = 10 si y(0)=2.

Solución. Esta ecuación puede expresarse de la siguiente manera

\displaystyle y'(t) + 5 \int_0^t{\cos{2(t-u)} \ y(u) \ du} = 10

\displaystyle y'(t) + 5 \cos{2t} * y(t) = 10

Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros

\displaystyle \mathcal{L} [y'(t) + 5 \cos{2t} * y(t)] = \mathcal{L} [10]

\displaystyle \mathcal{L} [y'(t)] + 5 \mathcal{L} [\cos{2t} * y(t)] = \mathcal{L} [10]

\displaystyle s Y(s) - y(0) + 5 \left[ \frac{Y(s) \cdot s}{s^2+4}\right] = \frac{10}{s}

Sabiendo que y(0)=2,

\displaystyle s Y(s) - (2) + 5 \left[ \frac{Y(s) \cdot s}{s^2+4}\right] = \frac{10}{s}

\displaystyle s Y(s) + 5 \left[ \frac{Y(s) \cdot s}{s^2+4}\right] = \frac{10}{s} + 2

Despejando Y(s)

\displaystyle \left(s + \frac{5s}{s^2+4}\right) Y(s) = \frac{10}{s} + 2

\displaystyle \left(\frac{s^3 + 9s}{s^2+4}\right) Y(s) = \frac{10+2s}{s}

\displaystyle Y(s) = \frac{(10+2s)(s^2+4)}{s(s^3+9s)}

\displaystyle Y(s) = \frac{2s^3 + 10s^2 + 8s + 40}{s^2(s^2+9)}

\displaystyle Y(s) = \frac{8/9}{s} + \frac{40/9}{s^2} + \frac{10/9 \ s}{s^2+9} + \frac{50/9}{s^2+9}

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros,

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{8/9}{s}\right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{40/9}{s^2}\right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{10/9 \ s}{s^2+9} \right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{50/9}{s^2+9}\right]

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \frac{8}{9} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s}\right] + \frac{40}{9} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2}\right] + \frac{10}{9} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+9} \right] + \frac{50}{9} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+9}\right]

\displaystyle y(t) = \frac{8}{9} (1) + \frac{40}{9} \cdot \frac{t}{1!} + \frac{10}{9} \cos{3t} + \frac{50}{9} \cdot \frac{1}{3} \sin{3t}

\displaystyle y(t) = \frac{8}{9} + \frac{40}{9} t + \frac{10}{9} \cos{3t} + \frac{50}{27} \sin{3t}

Finalmente,

\displaystyle \therefore y(t) = \frac{8}{9} + \frac{40}{9} t + \frac{10}{9} \cos{3t} + \frac{50}{27} \sin{3t}


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