Aplicaciones a la mecánica y la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

En la siguiente figura se muestra una masa $m$ está adherida a un resorte flexible fijado a un punto $O$ , y la cual tiene la libertad de desplazarse sobre el plano $PQ$ sin rozamiento.

Figura 3.1 — *Figura 1. Representando la masa adherida a un resorte.*

Si $x(t)$ , o simplemente $x$ , denota el desplazamiento instantáneo de $m$ , en el tiempo $t$ , desde su posición de equilibrio o de reposo, entonces actuará sobre $m$ una fuerza recuperadora $-kx$ , donde $k$ es una constante que depende del resorte, llamada constante del resorte. Esto se deduce por la ley de Hooke la cual establece experimentalmente que la fuerza recuperadora que actúa sobre un resorte es proporcional al alargamiento o extensión del resorte desde su posición de equilibrio. La segunda ley de Newton establece que la fuerza neta que actúa sobre $m$ es igual a la masa $m$ por la aceleración, la ecuación de movimiento es

$- F_{neta} = m \cdot a$

Interpretándolo como una ecuación diferencial de segundo orden

$\displaystyle -kx = m \frac{d^2x}{dt^2}$

$\displaystyle m \frac{d^2x}{dt^2} + kx=0$

Si, adicionalmente, existe una fuerza amortiguadora proporcional a la velocidad instantánea de $m$ , la ecuación de movimiento es

$- F_{neta} - F_{amortiguadora} = m \cdot a$

Interpretándolo como una ecuación diferencial de segundo orden

$\displaystyle -kx - \beta \frac{dx}{dt} = m \frac{d^2x}{dt^2}$

$\displaystyle m \frac{d^2 x}{{dt}^2} + \beta \frac{dx}{dt} + kx = 0$

Donde $\beta$ es la constante de amortiguamiento.

Si sobre la $m$ actúa una fuerza externa dada como $f(t)$ que depende del tiempo, entonces la ecuación de movimiento es

$\displaystyle - F_{neta} - F_{amortiguadora} + F_{externa} = m \cdot a$

Interpretándolo como una ecuación diferencial de segundo orden

$\displaystyle -kx - \beta \frac{dx}{dt} + f(t) = m \frac{d^2x}{dt^2}$

$\displaystyle m \frac{d^2x}{dt^2} + \beta \frac{dx}{dt} + kx = f(t)$

Comportamiento de la partícula en movimiento (casos de amortiguamiento)

Una partícula de masa $m$ se mueve sobre el eje $x$ y es atraída hacia el origen $O$ con una fuerza numéricamente igual a $kx$ , $k>0$ . También actúa una fuerza amortiguadora igual a $\displaystyle \beta \frac{dx}{dt}$ , $\beta > 0$ . Además, $x(0)=x_0$ , $x'(0) = v_0$ .

La ecuación de la ecuación del movimiento es

$\displaystyle - F_{neta} - F_{amortiguadora} + F_{externa} = m \cdot a$

$\displaystyle - kx - \beta \frac{dx}{dt} = m \cdot a$

$\displaystyle - kx - \beta \frac{dx}{dt} = m \frac{d^2 x}{{dt}^2}$

$\displaystyle - \frac{k}{m} x - \frac{\beta}{m} \frac{dx}{dt} = \frac{d^2 x}{{dt}^2}$

Sustituyendo $\displaystyle \frac{\beta}{m} = 2a$ y $\displaystyle \frac{k}{m} = \omega^2$

$\displaystyle - \omega^2 x - 2a \frac{dx}{dt} = \frac{d^2 x}{{dt}^2}$

$\displaystyle \frac{d^2 x}{{dt}^2} + 2a \frac{dx}{dt} + \omega^2 x = 0$

Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados,

$\displaystyle \mathcal{L} \left[\frac{d^2 x}{{dt}^2} + 2a \frac{dx}{dt} + \omega^2 x \right] = \mathcal{L} [0]$

$\displaystyle \mathcal{L} \left[\frac{d^2 x}{{dt}^2} \right] + 2a \mathcal{L} \left[\frac{dx}{dt} \right] + \omega^2 \mathcal{L} \left[x \right] = \mathcal{L} [0]$

$\displaystyle s^2 X(s) - s x(0) - x'(0) + 2a [s X(s) - x(0)] + \omega^2 X(s) = 0$

Tomando las condiciones iniciales $x(0)=x_0$ y $x'(0)=v_0$ , resulta que

$\displaystyle s^2 X(s) - s x_0 - v_0 + 2a [s X(s) - x_0] + \omega^2 X(s) = 0$

$\displaystyle s^2 X(s) - s x_0 - v_0 + 2as X(s) - 2a x_0 + \omega^2 X(s) = 0$

$\displaystyle (s^2 + 2as + \omega^2) X(s) - s x_0 - v_0 - 2a x_0 = 0$

$\displaystyle (s^2 + 2as + \omega^2) X(s) = s x_0 + v_0 + 2a x_0$

$\displaystyle X(s) = \frac{s x_0 + v_0 + 2a x_0}{s^2 + 2as + \omega^2}$

$\displaystyle X(s) = \frac{s x_0 + v_0 + a x_0 + a x_0}{s^2 + 2as + a^2 - a^2 + \omega^2}$

$\displaystyle X(s) = \frac{(s + a) x_0 + v_0 + a x_0}{(s+a)^2 + (\omega^2 - a^2)}$

$\displaystyle X(s) = \frac{(s + a) x_0}{(s+a)^2 + (\omega^2 - a^2)} + \frac{v_0 + a x_0}{(s + a)^2 + (\omega^2 - a^2)}$

Caso 1. Cuando $(\omega^2 - a^2) > 0$ .

Se tiene lo siguiente

$\displaystyle X(s) = \frac{(s + a) x_0}{(s+a)^2 + (\omega^2 - a^2)} + \frac{v_0 + a x_0}{(s + a)^2 + (\omega^2 - a^2)}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace.

$\displaystyle \mathcal{L} [X(s)] = x_0 \mathcal{L} \left[\frac{(s + a)}{(s+a)^2 + (\omega^2 - a^2)} \right] + (v_0 + a x_0) \mathcal{L} \left[\frac{1}{(s + a)^2 + (\omega^2 - a^2)} \right]$

$\displaystyle x(t) = x_0 e^{-at} \cos{\sqrt{\omega^2-a^2} t} + \frac{(v_0 + a x_0)}{\sqrt{\omega^2-a^2}} e^{-at} \sin{\sqrt{\omega^2-a^2}t}$

El movimiento se llama oscilatorio amortiguado. La partícula oscila alrededor de $O$ (el origen), y la magnitud de cada oscilación va haciéndose menor cada vez. El periodo de oscilación está dado por $2\pi/\sqrt{\omega^2-a^2}$ , y la frecuencia por $\sqrt{\omega^2-a^2}/2\pi$ . La cantidad $\omega/2\pi$ (correspondiente al caso $a=0$ , es decir, sin amortiguación) se llama la frecuencia natural.

*Figura 2. Movimiento oscilatorio amortiguado.*

Caso 2. Cuando $(\omega^2-a^2)=0$

Se tiene lo siguiente

$\displaystyle X(s) = \frac{(s + a) x_0}{(s+a)^2 + (\omega^2 - a^2)} + \frac{v_0 + a x_0}{(s + a)^2 + (\omega^2 - a^2)}$

$\displaystyle X(s) = \frac{(s + a) x_0}{(s+a)^2} + \frac{v_0 + a x_0}{(s + a)^2}$

$\displaystyle X(s) = \frac{x_0}{(s+a)} + \frac{v_0 + a x_0}{(s + a)^2}$

Tomando la transformada inversa de Laplace en ambos lados

$\displaystyle \mathcal{L} [X(s)] = \mathcal{L} \left[\frac{x_0}{(s+a)} + \frac{v_0 + a x_0}{(s + a)^2} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L} [X(s)] = x_0 \ \mathcal{L} \left[\frac{1}{(s+a)} \right] + (v_0 + a x_0) \ \mathcal{L} \left[ \frac{1}{(s + a)^2} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L} [X(s)] = x_0 e^{-at} + (v_0 + a x_0) t e^{-at}$

Aquí la partícula no oscila indefinidamente alrededor de $O$ sino que se aproxima gradualmente a $O$ sin llegar a alcanzarlo. Este tipo de movimiento se llama críticamente amortiguado, puesto que cualquier disminución de la constate de amortiguación $\beta$ producirá oscilaciones.

*Figura 3. Movimiento críticamente amortiguado.*

Caso 3. Cuando $(\omega^2-a^2) <0$ .

Se tiene lo siguiente

$\displaystyle X(s) = \frac{(s + a) x_0}{(s+a)^2 + (\omega^2 - a^2)} + \frac{v_0 + a x_0}{(s + a)^2 + (\omega^2 - a^2)}$

$\displaystyle X(s) = \frac{(s + a) x_0}{(s+a)^2 - (a^2 - \omega^2)} + \frac{v_0 + a x_0}{(s + a)^2 - (a^2 - \omega^2)}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace.

$\displaystyle \mathcal{L} [X(s)] = x_0 \mathcal{L} \left[\frac{(s + a)}{(s+a)^2 - (a^2 - \omega^2)} \right] + (v_0 + a x_0) \mathcal{L} \left[\frac{1}{(s + a)^2 - (a^2 - \omega^2)} \right]$

$\displaystyle x(t) = x_0 \cosh{\sqrt{a^2 - \omega^2} t} + \frac{(v_0 + a x_0)}{\sqrt{a^2 - \omega^2}} \sinh{\sqrt{a^2 - \omega^2}t}$

El movimiento se llama sobre-amortiguado y es no oscilatorio. Su gráfica es semejante a la del movimiento críticamente amortiguado.

*Figura 4. Movimiento sobre-amortiguado.*

Problema resuelto

Problema. Una partícula $P$ de 2 gramos de masa se mueve sobre el eje $x$ y es atraída hacia el origen con una fuerza numéricamente igual a $8x$ . Si está incialmente en reposo en $x=10$ , actúa con una fuerza $F(t)$ y que no hay una fuerza amortiguadora: (a) Hallar la posición de la partícula en cualquier tiempo si $f(t) = F_0 \cos{\omega t}$ . (b) Discutir el significado físico de los resultados.

Solución (a). Tomando la ecuación diferencial que representa el movimiento de la partícula y sustituyendo

$\displaystyle m \frac{d^2 x}{dt^2} + \beta \frac{dx}{dt} + kx = f(t)$

$\displaystyle 2 \frac{d^2x}{dt^2} + (0) \frac{dx}{dt} + 8x = F_0 \cos{\omega t}$

$\displaystyle 2 \frac{d^2x}{dt^2} + 8x = F_0 \cos{\omega t}$

$\displaystyle 2 x'' + 8x = F_0 \cos{\omega t}$

Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados

$\displaystyle \mathcal{L} [2 x'' + 8x] = \mathcal{L} [F_0 \cos{\omega t}]$

$\displaystyle 2 \ \mathcal{L} [x''] + 8 \ \mathcal{L} [x] = F_0 \ \mathcal{L} [\cos{\omega t}]$

$\displaystyle 2 [s^2 X(s) - s x(0) - x'(0)] + 8 X(s) = F_0 \left( \frac{s}{s^2 + \omega^2} \right)$

Las condiciones iniciales son $x(0) = 10$ y $x'(0)=0$ . Sustituyendo en la ecuación anterior

$\displaystyle 2 [s^2 X(s) - s (10) - (0)] + 8 X(s) = F_0 \left( \frac{s}{s^2 + \omega^2} \right)$

$\displaystyle 2 [s^2 X(s) - 10s] + 8 X(s) =\frac{F_0 s}{s^2 + \omega^2}$

$\displaystyle 2 s^2 X(s) - 20s + 8 X(s) =\frac{F_0 s}{s^2 + \omega^2}$

$\displaystyle (2 s^2 + 8) X(s) = 20 s + \frac{F_0 s}{s^2 + \omega^2}$

$\displaystyle X(s) = \frac{20 s}{2s^2+8} + \frac{F_0 s}{(s^2 + \omega^2)(2s^2+8)}$

$\displaystyle X(s) = \frac{10 s}{s^2+4} + \frac{F_0 s}{2(s^2 + \omega^2)(s^2+4)}$

Si $\omega^2 \ne 4$ , se tiene un resultado

$\displaystyle X(s) = \frac{10 s}{s^2+4} + \frac{F_0 s}{2(s^2 + \omega^2)(s^2+4)}$

$\displaystyle X(s) = \frac{10 s}{s^2+4} + \frac{F_0}{2(\omega^2 - 4)} \cdot \frac{s}{(s^2+4)} - \frac{F_0}{2(\omega^2-4)} \cdot \frac{s}{(s^2+\omega^2)}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [X(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{10 s}{s^2+4} + \frac{F_0}{2(\omega^2 - 4)} \cdot \frac{s}{(s^2+4)} - \frac{F_0}{2(\omega^2-4)} \cdot \frac{s}{(s^2+\omega^2)} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [X(s)] = 10 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+4} \right] + \frac{F_0}{2(\omega^2 - 4)} \ \mathcal{L} \left[\frac{s}{(s^2+4)} \right] - \frac{F_0}{2(\omega^2-4)} \ \mathcal{L} \left[\frac{s}{(s^2+\omega^2)} \right]$

$\displaystyle x(t) = 10 \cos{2t} + \frac{F_0}{2(\omega^2 - 4)} (\cos{2t})- \frac{F_0}{2(\omega^2-4)} \ (\cos{\omega t})$

$\displaystyle \therefore x(t) = 10 \cos{2t} + \frac{F_0}{2(\omega^2 - 4)} (\cos{2t}-\cos{\omega t})$

Si $\omega^2 = 4$ , se tiene otro resultado

$\displaystyle X(s) = \frac{10 s}{s^2+4} + \frac{F_0 s}{2(s^2 + \omega^2)(s^2+4)}$

$\displaystyle X(s) = \frac{10 s}{s^2+4} + \frac{F_0 s}{2(s^2 + 4)(s^2+4)}$

$\displaystyle X(s) = \frac{10 s}{s^2+4} + \frac{F_0 s}{2(s^2 + 4)^2}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [X(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{10 s}{s^2+4} + \frac{F_0 s}{2(s^2 + 4)^2} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [X(s)] = 10 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+4} \right] + \frac{F_0}{2} \ \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s}{(s^2 + 4)^2} \right]$

$\displaystyle \therefore x(t) = 10 \cos{2t} + \frac{F_0 s}{2} t \sin{2t}$

Solución (b). Si $\omega^2=4$ (o bien $\omega=2$ ), es decir, si la frecuencia de la fuerza externa aplicada es igual a la frecuencia natural del sistema, se puede observar que en el resultado de $x(t)$ tiene oscilaciones alrededor del punto de equilibrio que van creciendo indefinidamente. Este fenómeno se llama resonancia y la frecuencia correspondiente a $\omega=2$ se llama la frecuencia resonante. En tal caso, si hay una partícula sujeta al resorte, el resorte se romperá.