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Fórmula del desarrollo de Heaviside. Laplace

Introducción

Sean P(s) y Q(s) polinomios de los cuales P(s) es de grado menor que Q(s) y Q(s) tiene n ceros diferentes a_k, k=1, 2, 3, \cdots, n. Entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{P(s)}{Q(s)}\right] = \sum_{k=1}^{n}{\frac{P(a_k)}{Q'(a_k)} e^{a_k t}}

Esta fórmula se llama el teorema o fórmula de desarrollo de Heaviside.

Demostración

Sea Q(s) un polinomio con n ceros diferentes \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n, de acuerdo con el método de las fracciones parciales se puede escribir

\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{A_1}{s-\alpha_1} + \frac{A_2}{s-\alpha_2} + \cdots + \frac{A_k}{s-\alpha_k} + \cdots + \frac{A_n}{s-\alpha_n}

Multiplicando a ambos lados por (s-\alpha_k)

\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} \cdot (s-\alpha_k) = \frac{A_1}{s-\alpha_1} \cdot (s-\alpha_k) + \frac{A_2}{s-\alpha_2} \cdot (s-\alpha_k)+ \cdots + \frac{A_k}{s-\alpha_k} \cdot (s-\alpha_k)

\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} \cdot (s-\alpha_k) = \frac{A_1 (s-\alpha_k)}{s-\alpha_1} + \frac{A_2  (s-\alpha_k)}{s-\alpha_2} + \cdots + A_k

\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} \cdot (s-\alpha_k) = A_k

utilizando el límite y haciendo que s \rightarrow \alpha_k,

\displaystyle \lim_{s \rightarrow \alpha_k}{\frac{P(s)}{Q(s)} \cdot (s-\alpha_k)} = \lim_{s \rightarrow \alpha_k}{A_k}

\displaystyle \lim_{s \rightarrow \alpha_k}{P(s) \cdot \frac{(s-\alpha_k)}{Q(s)}} = A_k

\displaystyle \lim_{s \rightarrow \alpha_k}{P(s)}  \cdot \lim_{s \rightarrow \alpha_k}{\frac{(s-\alpha_k)}{Q(s)}} = A_k

\displaystyle P(\alpha_k) \cdot \lim_{s \rightarrow \alpha_k}{\frac{(s-\alpha_k)}{Q(s)}} = A_k

aplicando la regla de L’Hospital en encuentra que

\displaystyle P(\alpha_k) \cdot \lim_{s \rightarrow \alpha_k}{\frac{1}{Q'(s)}} = A_k

\displaystyle P(\alpha_k) \cdot \frac{1}{Q'(\alpha_k)} = A_k

\displaystyle \frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} = A_k

\displaystyle A_k = \frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)}

Así que la función racional expresado en fracciones parciales puede expresarse como

\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{P(\alpha_1)}{Q'(\alpha_1)} \cdot \frac{1}{s-\alpha_1} + \cdots + \frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} \cdot \frac{1}{s-\alpha_k} + \cdots + \frac{P(\alpha_n)}{Q'(\alpha_n)} \cdot \frac{1}{s-\alpha_n}

Tomando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros,

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right] =  \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(\alpha_1)}{Q'(\alpha_1)} \cdot \frac{1}{s-\alpha_1} \right] + \cdots +  \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} \cdot \frac{1}{s-\alpha_k} \right] + \cdots +  \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(\alpha_n)}{Q'(\alpha_n)} \cdot \frac{1}{s-\alpha_n} \right]

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{P(s)}{Q(s)} \right] = \frac{P(\alpha_1)}{Q'(\alpha_1)} \cdot  \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s-\alpha_1} \right] + \cdots + \frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} \cdot  \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s-\alpha_k} \right] + \cdots + \frac{P(\alpha_n)}{Q'(\alpha_n)} \cdot  \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s-\alpha_n} \right]

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right] = \frac{P(\alpha_1)}{Q'(\alpha_1)} \cdot  e^{\alpha_1 t} + \cdots + \frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} \cdot e^{\alpha_k t} + \cdots + \frac{P(\alpha_n)}{Q'(\alpha_n)} \cdot e^{\alpha_n t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right] = \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} \cdot e^{\alpha_k t}}

Se concluye que la fórmula del desarrollo de Heaviside es

\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right] = \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} \cdot e^{\alpha_k t}}

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar \displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2s^2-4}{(s+1)(s-2)(s-3)} \right].

Solución. Dentro de la transformada inversa de Laplace, se tiene la siguiente función racional

\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{2s^2-4}{(s+1)(s-2)(s-3)}

Donde P(s) = 2s^2-4 y Q(s) = (s+1)(s-2)(s-3) = s^3-4s^2+s+6. Para la función Q(s), se determina su primera derivada y es Q'(s)=3s^2-8s+1. De esa misma función se tiene que

\displaystyle (s-\alpha_1) = (s+1) \rightarrow \alpha_1=-1

\displaystyle (s-\alpha_2) = (s-2) \rightarrow \alpha_2=2

\displaystyle (s-\alpha_3) = (s-3) \rightarrow \alpha_3=3

Tomando cada valor del cero y sustituyendo en las funciones P(s) y Q'(s), resulta

Para \alpha_1=-1

P(-1) = 2(-1)^2-4 = 2-4 = -2

Q'(-1) = 3(-1)^2 - 8(-1) + 1 = 3 + 8 + 1 = 12

Para \alpha_2=2

P(2) = 2(2)^2-4 = 8-4 = 4

Q'(2) = 3(2)^2 - 8(2) + 1 = 12 -16 + 1 = -3

Para \alpha_3=3

P(3) = 2(3)^2-4 = 18-4 = 14

Q'(3) = 3(3)^2 - 8(3) + 1 = 27 - 24 + 1 = 4

Entonces, utilizando la fórmula del desarrollo de Heaviside

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right] = \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} \cdot e^{\alpha_k t}}

donde k=3 ya que sólo se tienen tres ceros diferentes

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right] = \sum_{k=1}^{3}{\frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} \cdot e^{\alpha_k t}}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right] = \frac{P(\alpha_1)}{Q'(\alpha_1)} \cdot e^{\alpha_1 t} + \frac{P(\alpha_2)}{Q'(\alpha_2)} \cdot e^{\alpha_2 t} + \frac{P(\alpha_3)}{Q'(\alpha_3)} \cdot e^{\alpha_3 t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2s^2-4}{(s+1)(s-2)(s-3)} \right] = \frac{P(-1)}{Q'(-1)} \cdot e^{(-1) t} + \frac{P(2)}{Q'(2)} \cdot e^{(2) t} + \frac{P(3)}{Q'(3)} \cdot e^{(3) t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2s^2-4}{(s+1)(s-2)(s-3)} \right] = \frac{(-2)}{(12)} \cdot e^{-t} + \frac{4}{(-3)} \cdot e^{2t} + \frac{14}{4} \cdot e^{3t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2s^2-4}{(s+1)(s-2)(s-3)} \right] = - \frac{1}{6} e^{-t} - \frac{4}{3} e^{2t} + \frac{7}{2} e^{3t}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2s^2-4}{(s+1)(s-2)(s-3)} \right] = - \frac{1}{6} e^{-t} - \frac{4}{3} e^{2t} + \frac{7}{2} e^{3t}

Problema 2. Hallar \displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right].

Solución. Dentro de la transformada inversa de Laplace, se tiene la siguiente función racional

\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)}

Donde P(s) = 3s+1 y Q(s) = (s-1)(s^2+1) = s^3-s^2+s-1 [además Q(s) = (s-1)(s-i)(s+i)]. Para la función Q(s), se determina su primera derivada y es Q'(s)=3s^2-2s+1. De esa misma función se tiene que

\displaystyle (s-\alpha_1) = (s-1) \rightarrow \alpha_1=1

\displaystyle (s-\alpha_2) = (s-i) \rightarrow \alpha_2=i

\displaystyle (s-\alpha_3) = (s+i) \rightarrow \alpha_3=-i

Tomando cada valor del cero y sustituyendo en las funciones P(s) y Q'(s), resulta

Para \alpha_1=1

P(1) = 3(1)+1 = 3+1 = 4

Q'(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2

Para \alpha_2=i

P(i) = 3(i)+1 = 1+3i

Q'(i) = 3(i)^2 - 2(i) + 1 = -3 - 2i + 1 = -2-2i

Para \alpha_3=-i

P(-i) = 3(-i)+1 = 1-3i

Q'(-i) = 3(-i)^2 - 2(-i) + 1 = -3 + 2i + 1 = -2 + 2i

Entonces, utilizando la fórmula del desarrollo de Heaviside

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right] = \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} \cdot e^{\alpha_k t}}

donde k=3 ya que sólo se tienen tres ceros diferentes

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right] = \sum_{k=1}^{3}{\frac{P(\alpha_k)}{Q'(\alpha_k)} \cdot e^{\alpha_k t}}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right] = \frac{P(\alpha_1)}{Q'(\alpha_1)} \cdot e^{\alpha_1 t} + \frac{P(\alpha_2)}{Q'(\alpha_2)} \cdot e^{\alpha_2 t} + \frac{P(\alpha_3)}{Q'(\alpha_3)} \cdot e^{\alpha_3 t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right] = \frac{P(1)}{Q'(1)} \cdot e^{(1) t} + \frac{P(i)}{Q'(i)} \cdot e^{(i) t} + \frac{P(-i)}{Q'(-i)} \cdot e^{(-i) t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right] = \frac{(4)}{(2)} \cdot e^{t} + \frac{1+3i}{(-2-2i)} \cdot e^{it} + \frac{1-3i}{-2+2i} \cdot e^{-it}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right] = 2 \cdot e^{t} + \frac{1+3i}{(-2-2i)} \cdot (\cos{t} + i \sin{t}) + \frac{1-3i}{-2+2i} \cdot (\cos{t} - i \sin{t})

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right] = 2e^{t} + \frac{1+3i}{(-2-2i)} \cdot \frac{(-2+2i)}{(-2+2i)} (\cos{t} + i \sin{t}) + \frac{1-3i}{-2+2i} \cdot \frac{(-2-2i)}{(-2-2i)} (\cos{t} - i \sin{t})

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right] = 2e^{t} + \left(\frac{-2+2i-6i-6}{8} \right) (\cos{t} + i \sin{t}) + \left( \frac{-2-2i+6i-6}{8}\right) (\cos{t} - i \sin{t})

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right] = 2e^{t} + \left(\frac{-8-4i}{8} \right) (\cos{t} + i \sin{t}) + \left( \frac{-8+4i}{8} \right) (\cos{t} - i \sin{t})

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right] = 2e^{t} + \left(-1-\frac{1}{2}i \right) (\cos{t} + i \sin{t}) + \left(-1+ \frac{1}{2}i \right) (\cos{t} - i \sin{t})

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right] = 2e^{t} - \cos{t} - i \sin{t} - \frac{1}{2} i \cos{t} + \frac{1}{2} \sin{t} - \cos{t} + i \sin{t} + \frac{1}{2} i \cos{t} + \frac{1}{2} \sin{t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right] = 2e^{t} - 2 \cos{t} + \sin{t}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right] = 2e^{t} - 2 \cos{t} + \sin{t}

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