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Propiedad de la división por potencias de «s». Laplace.

Introducción

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t), entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{F(s)}{s}\right] = \int_{0}^{t}{f(u) du}

De manera que la división por s (o multiplicación por 1/s) produce el efecto de integrar f(t) entre 0 y t.

Problema resuelto

Problema 1. Hallar \displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3(s^2+1)} \right].

Solución. Separando la expresión del denominador

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3(s^2+1)} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right]

Para este caso, se utilizará la propiedad de división por potencias de «s», donde n=3. El segundo término del producto puede determinarse utilizando la transformada inversa de Laplace.

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+1} \right] = \frac{1}{1} \sin{(1)t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+1} \right] = \sin{t}

Ahora, la expresión \displaystyle \frac{1}{s^3} significa que se integrará tres veces. Entonces, evaluando la integral una vez,

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \int_0^{t}{\sin{u} \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \left[ -\cos{u} \right]_0^{t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = -\cos{t} + \cos{0}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = -\cos{t} + 1

Integrando por segunda vez

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \int_{0}^{t}{\left(-\cos{u} + 1 \right) \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \left[-\sin{u} + u \right]_{0}^{t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \left(-\sin{t} + t \right) - (\sin{0} + 0)

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = -\sin{t} + t

E integrando por tercera vez

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \int_{0}^{t}{(-\sin{u} + u) \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \left[\cos{u} + \frac{1}{2} u^2 \right]_{0}^{t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \left(\cos{t} + \frac{1}{2} t^2 \right) - \left(\cos{0} + \frac{1}{2} (0)^2 \right)

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \left(\cos{t} + \frac{1}{2} t^2 \right) - \left(1 \right)

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \cos{t} + \frac{1}{2} t^2- 1

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3(s^2+1)} \right] = \cos{t} + \frac{1}{2} t^2- 1


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