Propiedad de la división por potencias de «s». Laplace.

Introducción

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{F(s)}{s}\right] = \int_{0}^{t}{f(u) du}$

De manera que la división por $s$ (o multiplicación por 1/s) produce el efecto de integrar $f(t)$ entre 0 y $t$ .

Problema resuelto

Problema 1. Hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3(s^2+1)} \right]$ .

Solución. Separando la expresión del denominador

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3(s^2+1)} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right]$

Para este caso, se utilizará la propiedad de división por potencias de «s», donde $n=3$ . El segundo término del producto puede determinarse utilizando la transformada inversa de Laplace.

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+1} \right] = \frac{1}{1} \sin{(1)t}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+1} \right] = \sin{t}$

Ahora, la expresión $\displaystyle \frac{1}{s^3}$ significa que se integrará tres veces. Entonces, evaluando la integral una vez,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \int_0^{t}{\sin{u} \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \left[ -\cos{u} \right]_0^{t}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = -\cos{t} + \cos{0}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = -\cos{t} + 1$

Integrando por segunda vez

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \int_{0}^{t}{\left(-\cos{u} + 1 \right) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \left[-\sin{u} + u \right]_{0}^{t}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \left(-\sin{t} + t \right) - (\sin{0} + 0)$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = -\sin{t} + t$

E integrando por tercera vez

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \int_{0}^{t}{(-\sin{u} + u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \left[\cos{u} + \frac{1}{2} u^2 \right]_{0}^{t}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^3} \cdot \frac{1}{s^2+1} \right] = \left(\cos{t} + \frac{1}{2} t^2 \right) - \left(\cos{0} + \frac{1}{2} (0)^2 \right)$