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Transformada inversa de Laplace de las derivadas de F(s). Laplace.

Introducción

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t), entonces

\displaystyle {\mathcal{L}}^{-1}[F^{(n)} (s)] ={(-1)}^{n} \cdot t^n \cdot f(t)

\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{d^n}{ds^n} F(s) \right] = {(-1)}^{n} \cdot t^n \cdot f(t)

Problema resuelto

Problema. Determinar f(t) para \displaystyle F(s) = \frac{s}{(s^2+a^2)^2}.

Solución. De la función F(s),

\displaystyle F(s) = \frac{s}{(s^2+a^2)^2}

Se observa que es semejante a

\displaystyle \frac{d}{ds} \left(\frac{1}{s^2+a^2} \right) = - \frac{2s}{(s^2+a^2)^2}

O sea,

\displaystyle \frac{s}{(s^2+a^2)^2} = - \frac{1}{2} \frac{d}{ds} \left(\frac{1}{s^2+a^2} \right)

Aplicando la transformada inversa de Laplace

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{(s^2+a^2)^2} \right] = - \frac{1}{2} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{d}{ds} \left(\frac{1}{s^2+a^2} \right) \right]

Se observa que al tener sólo la primera derivada, n=1. Además, dentro de la derivada (ubicado en el segundo miembro), su transformada inversa es

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{a} \sin{at}

Entonces,

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{(s^2+a^2)^2} \right] = - \frac{1}{2}  \left(t^1 \cdot \frac{1}{a} \sin{at} \right)

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{(s^2+a^2)^2} \right] = - \frac{1}{2a} t \sin{at}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[F(s) \right] = - \frac{1}{2a} t \sin{at}

\displaystyle f(t) = - \frac{1}{2a} t \sin{at}

El resultado final es

\displaystyle \therefore f(t) = - \frac{1}{2a} t \sin{at}


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