Transformada inversa de Laplace de las derivadas de F(s). Laplace.

Introducción

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ , entonces

$\displaystyle {\mathcal{L}}^{-1}[F^{(n)} (s)] ={(-1)}^{n} \cdot t^n \cdot f(t)$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{d^n}{ds^n} F(s) \right] = {(-1)}^{n} \cdot t^n \cdot f(t)$

Problema resuelto

Problema. Determinar $f(t)$ para $\displaystyle F(s) = \frac{s}{(s^2+a^2)^2}$ .

Solución. De la función $F(s)$ ,

$\displaystyle F(s) = \frac{s}{(s^2+a^2)^2}$

Se observa que es semejante a

$\displaystyle \frac{d}{ds} \left(\frac{1}{s^2+a^2} \right) = - \frac{2s}{(s^2+a^2)^2}$

O sea,

$\displaystyle \frac{s}{(s^2+a^2)^2} = - \frac{1}{2} \frac{d}{ds} \left(\frac{1}{s^2+a^2} \right)$

Aplicando la transformada inversa de Laplace

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{(s^2+a^2)^2} \right] = - \frac{1}{2} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{d}{ds} \left(\frac{1}{s^2+a^2} \right) \right]$

Se observa que al tener sólo la primera derivada, $n=1$ . Además, dentro de la derivada (ubicado en el segundo miembro), su transformada inversa es

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{a} \sin{at}$

Entonces,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{(s^2+a^2)^2} \right] = - \frac{1}{2} \left(t^1 \cdot \frac{1}{a} \sin{at} \right)$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{(s^2+a^2)^2} \right] = - \frac{1}{2a} t \sin{at}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[F(s) \right] = - \frac{1}{2a} t \sin{at}$

$\displaystyle f(t) = - \frac{1}{2a} t \sin{at}$

El resultado final es

$\displaystyle \therefore f(t) = - \frac{1}{2a} t \sin{at}$

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Publicado por Cesar Reyes

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