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Primera propiedad de translación de la transformada inversa de Laplace. Laplace.

Introducción

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t), entonces

\mathcal{L}^{-1}[F(s-a)] = e^{at} \cdot f(t)

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar f(t) para \displaystyle F(s) = \frac{6s-4}{s^2-4s+20}.

Solución. De la función F(s), se toma el símbolo \mathcal{L}^{-1} para hallar la transformada inversa de Laplace.

\displaystyle F(s) = \frac{6s-4}{s^2-4s+20}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{s^2-4s+20} \right]

Factorizando el denominador

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{s^2-4s+(\frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2+20} \right]

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{s^2-4s+(2)^2 - (2)^2+20} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{(s-2)^2 - (2)^2+20} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{(s-2)^2 - 4 +20} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{(s-2)^2 +16} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s}{(s-2)^2 +16} - \frac{4}{(s-2)^2 +16} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s+2-2)}{(s-2)^2 +16} - \frac{4}{(s-2)^2 +16} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s-2) + 6(2)}{(s-2)^2 +16} - \frac{4}{(s-2)^2 +16} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s-2) + 12}{(s-2)^2 +16} - \frac{4}{(s-2)^2 +16} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s-2)}{(s-2)^2 +16} + \frac{12}{(s-2)^2 +16} - \frac{4}{(s-2)^2 +16} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s-2)}{(s-2)^2 +16} + \frac{8}{(s-2)^2 +16} \right]

Aplicando la propiedad de linealidad

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s-2)}{(s-2)^2 +16} \right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{8}{(s-2)^2 +16} \right]

\displaystyle f(t) = 6 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-2)}{(s-2)^2 +16} \right] + 8 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2 +16} \right]

Analizando el segundo miembro, el primer término tiene lo siguiente

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-2)}{(s-2)^2 +16} \right] \rightarrow \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2 +16} \right]

Esta es idéntica a

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2 +16} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+b^2} \right]

donde b^2 =16 (provocando que b=4). Para este caso, su transformada inversa de Laplace es

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+b^2} \right] = \cos{bt}

Entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+16} \right] = \cos{4t}

Luego

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-2)}{(s-2)^2 +16} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-a)}{(s-a)^2 +16} \right]

Observando que a=2 y utilizando la primera propiedad de translación, se tiene que

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-a)}{(s-a)^2+16} \right] = e^{at} \cos{4t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-2)}{(s-2)^2+16} \right] = e^{2t} \cos{4t}

Y en el segundo término

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2 +16} \right] \rightarrow \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2 +16} \right]

Esta es idéntica a

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2 +16} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+b^2} \right]

donde b^2 =16 (provocando que b=4). Para este caso, su transformada inversa de Laplace es

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+b^2} \right] = \frac{1}{b} \sin{bt}

Entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+16} \right] = \frac{1}{4} \sin{4t}

Luego

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2 +16} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^2 +16} \right]

Observando que a=2 y utilizando la primera propiedad de translación, se tiene que

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^2+16} \right] = e^{at} \cdot \frac{1}{4} \sin{4t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2+16} \right] = e^{2t} \cdot \frac{1}{4} \sin{4t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2+16} \right] = \frac{1}{4} e^{2t} \sin{4t}

Regresando y aplicando lo siguiente

\displaystyle f(t) = 6 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-2)}{(s-2)^2 +16} \right] + 8 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2 +16} \right]

\displaystyle f(t) = 6 \left( e^{2t} \cos{4t} \right) + 8 \left(\frac{1}{4} e^{2t} \sin{4t} \right)

\displaystyle f(t) = 6 e^{2t} \cos{4t} + \frac{8}{4} e^{2t} \sin{4t}

\displaystyle f(t) = 6 e^{2t} \cos{4t} + 2 e^{2t} \sin{4t}

\displaystyle f(t) = 2 e^{2t} (3 \cos{4t} + \sin{4t})

Finalmente

\displaystyle \therefore f(t) = 2 e^{2t} (3 \cos{4t} + \sin{4t})

Problema 2. Hallar f(t) para \displaystyle F(s) = \frac{4s+12}{s^2+8s+16}.

Solución. De la función F(s), se toma el símbolo \mathcal{L}^{-1} para hallar la transformada inversa de Laplace.

\displaystyle F(s) = \frac{4s+12}{s^2+8s+16}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{s^2+8s+16} \right]

Factorizando el denominador

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{s^2+8s+(\frac{8}{2})^2 - (\frac{8}{2})^2+16} \right]

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{s^2+8s+(4)^2 - (4)^2+16} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{(s+4)^2 - (4)^2+16} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{(s+4)^2 - 16+16} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{(s+4)^2} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s}{(s+4)^2} + \frac{12}{(s+4)^2} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4(s+4-4)}{(s+4)^2} + \frac{12}{(s+4)^2} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4(s+4) + 4(-4)}{(s+4)^2} + \frac{12}{(s+4)^2} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4(s+4) - 16}{(s+4)^2} + \frac{12}{(s+4)^2} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4(s+4)}{(s+4)^2} - \frac{16}{(s+4)^2} + \frac{12}{(s+4)^2} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4(s+4)}{(s+4)^2} - \frac{4}{(s+4)^2} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4}{(s+4)} - \frac{4}{(s+4)^2} \right]

Aplicando la propiedad de linealidad

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4}{(s+4)} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4}{(s+4)^2} \right]

\displaystyle f(t) = 4 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)} \right] - 4 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right]

Analizando el segundo miembro, el primer término es idéntico a

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-4)} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s-b} \right]

donde b = -4. Para este caso, su transformada inversa de Laplace es

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s-b} \right] = e^{bt}

Entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s+4} \right] = e^{-4t}

Y en el segundo término

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right] \rightarrow \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \right]

Esta es idéntica a

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right]

donde n+1=2 (es decir, n=1). Para este caso, su transformada inversa de Laplace es

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right] = \frac{t^n}{n!}

para n=1,2,3,\cdots. Entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \right] = \frac{t}{1!}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \right] = t

Luego

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^2} \right]

Observando que a=-4 y utilizando la primera propiedad de translación, se tiene que

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^2} \right] = e^{at} \cdot t

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right] = e^{-4t} \cdot t

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right] = t e^{-4t}

Regresando y aplicando lo siguiente

\displaystyle f(t) = 4 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)} \right] - 4 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right]

\displaystyle f(t) = 4  \left(e^{-4t} \right) - 4 \left(t e^{-4t} \right)

\displaystyle f(t) = 4  e^{-4t} - 4 t e^{-4t}

Finalmente

\displaystyle \therefore f(t) = 4 e^{-4t} (1 - t)

Problema 3. Hallar f(t) para \displaystyle F(s) = \frac{1}{\sqrt{2s+3}}.

Solución. De la función F(s), se toma el símbolo \mathcal{L}^{-1} para hallar la transformada inversa de Laplace.

\displaystyle F(s) = \frac{1}{\sqrt{2s+3}}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{2s+3}} \right]

Factorizando el denominador

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{2s+3}} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{2(s+\frac{3}{2})}} \right]

\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{s+\frac{3}{2}}} \right]

\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{s+\frac{3}{2}}} \right]

\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+\frac{3}{2})^{1/2}} \right]

Analizando el segundo miembro, se tiene lo siguiente

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+\frac{3}{2})^{1/2}} \right] \rightarrow \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{1/2}} \right]

Y esta es idéntica a

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{1/2}} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right]

donde n+1 =1/2 (es decir, n=-1/2). Para este caso, su transformada inversa de Laplace es

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right] = \frac{t^{n}}{\Gamma (n+1)}

para n>-1. Entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{1/2}} \right] = \frac{t^{-1/2}}{\Gamma (\frac{1}{2})}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{1/2}} \right] = \frac{t^{-1/2}}{\sqrt{\pi}}

Luego

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+\frac{3}{2})^{1/2}} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^{1/2}} \right]

Observando que a=3/2 y utilizando la primera propiedad de translación, se tiene que

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^{1/2}} \right] = e^{at} \cdot \frac{t^{-1/2}}{\sqrt{\pi}}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+3/2)^{1/2}} \right] = e^{-\frac{3}{2} t} \cdot \frac{t^{-1/2}}{\sqrt{\pi}}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+3/2)^{1/2}} \right] = \frac{e^{-\frac{3}{2} t}  \ t^{-1/2}}{\sqrt{\pi}}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+3/2)^{1/2}} \right] = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-\frac{3}{2} t}  \ t^{-1/2}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+3/2)^{1/2}} \right] = \frac{1}{\sqrt{\pi}} t^{-1/2} e^{-\frac{3}{2} t}

Regresando y aplicando lo siguiente

\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+\frac{3}{2})^{1/2}} \right]

\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} t^{-1/2} e^{-\frac{3}{2} t} \right)

\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{\pi}} t^{-1/2} e^{-\frac{3}{2} t}

\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} t^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{3}{2} t}

Finalmente

\displaystyle \therefore f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} t^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{3}{2} t}


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