Primera propiedad de translación de la transformada inversa de Laplace. Laplace.

Introducción

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ , entonces

$\mathcal{L}^{-1}[F(s-a)] = e^{at} \cdot f(t)$

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar $f(t)$ para $\displaystyle F(s) = \frac{6s-4}{s^2-4s+20}$ .

Solución. De la función $F(s)$ , se toma el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ para hallar la transformada inversa de Laplace.

$\displaystyle F(s) = \frac{6s-4}{s^2-4s+20}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{s^2-4s+20} \right]$

Factorizando el denominador

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{s^2-4s+(\frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2+20} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{s^2-4s+(2)^2 - (2)^2+20} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{(s-2)^2 - (2)^2+20} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{(s-2)^2 - 4 +20} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s-4}{(s-2)^2 +16} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s}{(s-2)^2 +16} - \frac{4}{(s-2)^2 +16} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s+2-2)}{(s-2)^2 +16} - \frac{4}{(s-2)^2 +16} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s-2) + 6(2)}{(s-2)^2 +16} - \frac{4}{(s-2)^2 +16} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s-2) + 12}{(s-2)^2 +16} - \frac{4}{(s-2)^2 +16} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s-2)}{(s-2)^2 +16} + \frac{12}{(s-2)^2 +16} - \frac{4}{(s-2)^2 +16} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s-2)}{(s-2)^2 +16} + \frac{8}{(s-2)^2 +16} \right]$

Aplicando la propiedad de linealidad

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6(s-2)}{(s-2)^2 +16} \right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{8}{(s-2)^2 +16} \right]$

$\displaystyle f(t) = 6 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-2)}{(s-2)^2 +16} \right] + 8 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2 +16} \right]$

Analizando el segundo miembro, el primer término tiene lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-2)}{(s-2)^2 +16} \right] \rightarrow \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2 +16} \right]$

Esta es idéntica a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2 +16} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+b^2} \right]$

donde $b^2 =16$ (provocando que $b=4$ ). Para este caso, su transformada inversa de Laplace es

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+b^2} \right] = \cos{bt}$

Entonces

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+16} \right] = \cos{4t}$

Luego

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-2)}{(s-2)^2 +16} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-a)}{(s-a)^2 +16} \right]$

Observando que $a=2$ y utilizando la primera propiedad de translación, se tiene que

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-a)}{(s-a)^2+16} \right] = e^{at} \cos{4t}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-2)}{(s-2)^2+16} \right] = e^{2t} \cos{4t}$

Y en el segundo término

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2 +16} \right] \rightarrow \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2 +16} \right]$

Esta es idéntica a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2 +16} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+b^2} \right]$

donde $b^2 =16$ (provocando que $b=4$ ). Para este caso, su transformada inversa de Laplace es

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+b^2} \right] = \frac{1}{b} \sin{bt}$

Entonces

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+16} \right] = \frac{1}{4} \sin{4t}$

Luego

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2 +16} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^2 +16} \right]$

Observando que $a=2$ y utilizando la primera propiedad de translación, se tiene que

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^2+16} \right] = e^{at} \cdot \frac{1}{4} \sin{4t}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2+16} \right] = e^{2t} \cdot \frac{1}{4} \sin{4t}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2+16} \right] = \frac{1}{4} e^{2t} \sin{4t}$

Regresando y aplicando lo siguiente

$\displaystyle f(t) = 6 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{(s-2)}{(s-2)^2 +16} \right] + 8 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2 +16} \right]$

$\displaystyle f(t) = 6 \left( e^{2t} \cos{4t} \right) + 8 \left(\frac{1}{4} e^{2t} \sin{4t} \right)$

$\displaystyle f(t) = 6 e^{2t} \cos{4t} + \frac{8}{4} e^{2t} \sin{4t}$

$\displaystyle f(t) = 6 e^{2t} \cos{4t} + 2 e^{2t} \sin{4t}$

$\displaystyle f(t) = 2 e^{2t} (3 \cos{4t} + \sin{4t})$

Finalmente

$\displaystyle \therefore f(t) = 2 e^{2t} (3 \cos{4t} + \sin{4t})$

Problema 2. Hallar $f(t)$ para $\displaystyle F(s) = \frac{4s+12}{s^2+8s+16}$ .

Solución. De la función $F(s)$ , se toma el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ para hallar la transformada inversa de Laplace.

$\displaystyle F(s) = \frac{4s+12}{s^2+8s+16}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{s^2+8s+16} \right]$

Factorizando el denominador

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{s^2+8s+(\frac{8}{2})^2 - (\frac{8}{2})^2+16} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{s^2+8s+(4)^2 - (4)^2+16} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{(s+4)^2 - (4)^2+16} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{(s+4)^2 - 16+16} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s+12}{(s+4)^2} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4s}{(s+4)^2} + \frac{12}{(s+4)^2} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4(s+4-4)}{(s+4)^2} + \frac{12}{(s+4)^2} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4(s+4) + 4(-4)}{(s+4)^2} + \frac{12}{(s+4)^2} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4(s+4) - 16}{(s+4)^2} + \frac{12}{(s+4)^2} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4(s+4)}{(s+4)^2} - \frac{16}{(s+4)^2} + \frac{12}{(s+4)^2} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4(s+4)}{(s+4)^2} - \frac{4}{(s+4)^2} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4}{(s+4)} - \frac{4}{(s+4)^2} \right]$

Aplicando la propiedad de linealidad

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4}{(s+4)} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4}{(s+4)^2} \right]$

$\displaystyle f(t) = 4 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)} \right] - 4 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right]$

Analizando el segundo miembro, el primer término es idéntico a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-4)} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s-b} \right]$

donde $b = -4$ . Para este caso, su transformada inversa de Laplace es

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s-b} \right] = e^{bt}$

Entonces

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s+4} \right] = e^{-4t}$

Y en el segundo término

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right] \rightarrow \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \right]$

Esta es idéntica a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right]$

donde $n+1=2$ (es decir, $n=1$ ). Para este caso, su transformada inversa de Laplace es

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right] = \frac{t^n}{n!}$

para $n=1,2,3,\cdots$ . Entonces

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \right] = \frac{t}{1!}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \right] = t$

Luego

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^2} \right]$

Observando que $a=-4$ y utilizando la primera propiedad de translación, se tiene que

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^2} \right] = e^{at} \cdot t$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right] = e^{-4t} \cdot t$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right] = t e^{-4t}$

Regresando y aplicando lo siguiente

$\displaystyle f(t) = 4 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)} \right] - 4 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+4)^2} \right]$

$\displaystyle f(t) = 4 \left(e^{-4t} \right) - 4 \left(t e^{-4t} \right)$

$\displaystyle f(t) = 4 e^{-4t} - 4 t e^{-4t}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore f(t) = 4 e^{-4t} (1 - t)$

Problema 3. Hallar $f(t)$ para $\displaystyle F(s) = \frac{1}{\sqrt{2s+3}}$ .

Solución. De la función $F(s)$ , se toma el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ para hallar la transformada inversa de Laplace.

$\displaystyle F(s) = \frac{1}{\sqrt{2s+3}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{2s+3}} \right]$

Factorizando el denominador

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{2s+3}} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{2(s+\frac{3}{2})}} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{s+\frac{3}{2}}} \right]$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{s+\frac{3}{2}}} \right]$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+\frac{3}{2})^{1/2}} \right]$

Analizando el segundo miembro, se tiene lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+\frac{3}{2})^{1/2}} \right] \rightarrow \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{1/2}} \right]$

Y esta es idéntica a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{1/2}} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right]$

donde $n+1 =1/2$ (es decir, $n=-1/2$ ). Para este caso, su transformada inversa de Laplace es

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right] = \frac{t^{n}}{\Gamma (n+1)}$

para $n>-1$ . Entonces

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{1/2}} \right] = \frac{t^{-1/2}}{\Gamma (\frac{1}{2})}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{1/2}} \right] = \frac{t^{-1/2}}{\sqrt{\pi}}$

Luego

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+\frac{3}{2})^{1/2}} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^{1/2}} \right]$

Observando que $a=3/2$ y utilizando la primera propiedad de translación, se tiene que

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-a)^{1/2}} \right] = e^{at} \cdot \frac{t^{-1/2}}{\sqrt{\pi}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+3/2)^{1/2}} \right] = e^{-\frac{3}{2} t} \cdot \frac{t^{-1/2}}{\sqrt{\pi}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+3/2)^{1/2}} \right] = \frac{e^{-\frac{3}{2} t} \ t^{-1/2}}{\sqrt{\pi}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+3/2)^{1/2}} \right] = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-\frac{3}{2} t} \ t^{-1/2}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+3/2)^{1/2}} \right] = \frac{1}{\sqrt{\pi}} t^{-1/2} e^{-\frac{3}{2} t}$

Regresando y aplicando lo siguiente

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+\frac{3}{2})^{1/2}} \right]$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} t^{-1/2} e^{-\frac{3}{2} t} \right)$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{\pi}} t^{-1/2} e^{-\frac{3}{2} t}$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} t^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{3}{2} t}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} t^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{3}{2} t}$

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Introduce aquí tu comentario...

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Correo electrónico (obligatorio) (La dirección no se hará pública)

Nombre (obligatorio)

Web

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. ( Salir / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. ( Salir / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. ( Salir / Cambiar )

Cancelar

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

Comparte esto:

Me gusta esto:

Relacionado

Publicado por Cesar Reyes

Deja una respuesta Cancelar la respuesta