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Propiedades de la transformada inversa de Laplace. Laplace.

Propiedad de linealidad

Si c_1 y c_2 son constantes arbitrarias y F_1 (s) y F_2 (s) son las transformadas de Laplace de f_1 (t) y f_2 (t), entonces,

\mathcal{L}^{-1} [F_1 (s) + F_2 (s)] = c_1 \cdot \mathcal{L}^{-1}[F_1 (s)] + c_2 \cdot \mathcal{L}^{-1}[F_2 (s)]

\mathcal{L}^{-1} [F_1 (s) + F_2 (s)] = c_1 \cdot f_1 (t) + c_2 \cdot f_2 (t)

Tambien se aplica para mas de dos funciones.

Primera propiedad de translacion

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t), entonces

\mathcal{L}^{-1}[F(s-a)] = e^{at} \cdot f(t)

Segunda propiedad de translacion

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t), entonces

\displaystyle {\mathcal{L}}^{-1}[e^{-as} \cdot F(s)] =  \left\{ \begin{matrix} f(t-a) \quad t>a \\ 0 \quad \quad \quad \quad t<a \end{matrix} \right.

Propiedad del cambio de escala

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t), entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1}[F(k \cdot s)] = \frac{1}{k} \cdot f(\frac{t}{k})

Donde k representa una constante.

Transformada inversa de Laplace en las derivadas

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t), entonces

\displaystyle {\mathcal{L}}^{-1}[F^{(n)} (s)] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{d^n}{ds^n} F(s) \right] = {(-1)}^{n} \cdot t^n \cdot f(t)

Transformada inversa de Laplace en las integrales

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t), entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\int_{s}^{\infty}{F(u) du} \right] = \frac{f(t)}{t}

Multiplicación por s^n.

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t) y f(0)=0, entonces

\mathcal{L}^{-1}[s \cdot F(s)] = f'(t)

Por lo que, multiplicando por s produce el efecto de derivar f(t).

Si f(0) \ne 0, entonces

\mathcal{L}^{-1}[s \cdot F(s) - f(0)] = f'(t)

O también

\mathcal{L}^{-1}[s \cdot F(s)] = f'(t) - f(0) \cdot \delta (t)

donde \delta (t) representa la función delta de Dirac o la función de impulso unitario.

División por s.

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t), entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{F(s)}{s}\right] = \int_{0}^{t}{f(u) du}

De manera que la división por s (o multiplicación por 1/s) produce el efecto de integrar f(t) entre 0 y t.

Propiedad de convolución.

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t) y \mathcal{L}^{-1}[G(s)] = g(t), entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1}[F(s) \ G(s)] = \int_{0}^{t}{f(u) \ g(t-u) \ du} = F*G

La expresión F*G se llama la convolución de F y G, y este teorema se llama el teorema de convolución o propiedad de convolución.


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