Introducción
La función escalón unitario o función unitario de Heaviside, se define como

Transformada de Laplace de la función escalón unitario
En base a la expresión anterior de la función escalón unitario, se aplica la transformada de Laplace.
Se concluye que la transformada de Laplace de la función escalón unitario es
Transformada de Laplace de la función escalón unitario con la segunda propiedad de traslación (traslación sobre el eje «t»)
Para este caso, una función que no es escalón unitario, se define como
Deduciendo su resultado, se empieza por medio de la definición de la transformada de Laplace
Multiplicando por
Ahora, sea y
. Sustituyendo
Remplazando por
(variable comodín)
Luego
Se concluye que la transformada de Laplace para la función escalón unitario con la segunda propiedad de traslación es
Problemas resueltos
Problema 1. Dada la siguiente gráfica, encontrar la transformada de Laplace de la siguiente gráfica

Solución. Analizando los intervalos se tiene lo siguiente
Del intervalo ,
Del intervalo ,
Del intervalo ,
Por lo que la función es
Aplicando la transformada de Laplace, resulta
Finalmente, la transformada de Laplace de la gráfica es
Problema 2. Hallar la transformada de Laplace de la función , cuya gráfica siguiente

Solución. La gráfica esta definida como
Entonces, se tiene que
Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros, resulta lo siguiente
Utilizando la segunda propiedad de traslación, primero se sabe que
Entonces
Finalmente
Problema 3. Hallar la transformada de Laplace de la siguiente gráfica

Solución. Analizando cada intervalo, se tiene que
Del intervalo
Del intervalo
Del intervalo
Del intervalo
Del intervalo
Por lo que la función es
Tomando la transformada de Laplace en ambos miembros
Por tanto, la transformada de Laplace de la gráfica brindada es
Problema 4. Hallar la transformada de Laplace de la siguiente gráfica

donde su periodo es de 2.
Solución. La función está definida como
Entonces, la integral se interpretará como una suma de integrales sobre periodos sucesivos
Sustituyendo en la primera integral y
, en la segunda integral
,
y en la tercera integral
y
, resulta lo siguiente
La gráfica es periódica, con periodo de 2. Así que
Dentro del paréntesis se tiene una serie geométrica con razón . Por lo que, si
y
, la serie geométrica converge a
. Continuando
Finalmente, la transformada de Laplace de la gráfica es