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Funciones periódicas en la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Sea f(t) con período T>0 tal que f(t+T) = f(t). Entonces

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int^{T}_{0}{e^{-st} f(t) \ dt}

Problemas resueltos

Problema 1. Sea la función \displaystyle f(t) =  \left\{\begin{matrix} 2 \quad \text{para} \ 0<t < 1 \\ 0 \quad \text{para} \ 1 < t < 2 \end{matrix} \right. con periodo de 2. Hallar su transformada de Laplace.

Solución. Tomando la fórmula para funciones periódicas y sustituyendo, resulta

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int^{T}_{0}{e^{-st} f(t) \ dt}

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s(2)}} \int^{2}_{0}{e^{-st} f(t) \ dt}

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-2s}} \left[\int^{1}_{0}{e^{-st} (2) \ dt} + \int^{2}_{1}{e^{-st} (0) dt} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{2}{1-e^{-2s}}\int^{1}_{0}{e^{-st}\ dt}

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{2}{1-e^{-2s}}\left[-\frac{1}{s} e^{-st} \right]^{1}_{0}

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{2}{1-e^{-2s}}\left[-\frac{1}{s} e^{-s(1)} + \frac{1}{s} e^{-s(0)} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{2}{1-e^{-2s}}\left(-\frac{1}{s} e^{-s} + \frac{1}{s} e^{0} \right)

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{2}{1-e^{-2s}}\left[-\frac{1}{s} e^{-s} + \frac{1}{s} (1) \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{2}{1-e^{-2s}}\left(-\frac{1}{s} e^{-s} + \frac{1}{s} \right)

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{2}{s(1-e^{-2s})}\left(-e^{-s} + 1\right)

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{2}{s(1-e^{-s})(1+e^{-s})}\left(1-e^{-s}\right)

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{2}{s(1+e^{-s})}

Problema 2. Encontrar la transformada de Laplace de la siguiente función periódica

Figura 1. Función periódica del problema 2.

Solución. Analizando la figura, se tiene la siguiente función

\displaystyle f(t) =  \left\{\begin{matrix} 1 \quad \text{para} \ 0 <t < 1 \\ -1 \quad \text{para} \ 1 < t < 2 \end{matrix} \right.

Tomando la formula para determinar la transformada de Laplace de f(t) de la función periódica es

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int^{T}_{0}{e^{-st} f(t) \ dt}

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s(2)}} \int^{2}_{0}{e^{-st} f(t) \ dt}

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-2s}} \left[\int^{1}_{0}{e^{-st} (1) \ dt} +  \int^{2}_{1}{e^{-st} (-1) \ dt} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-2s}} \left[\int^{1}_{0}{e^{-st} \ dt} -  \int^{2}_{1}{e^{-st} \ dt}  \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-2s}} \left[\left[- \frac{1}{s} e^{-st} \right]^{1}_{0} -  \left[-\frac{1}{s} e^{-st} \right]^{2}_{1} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-2s}} \left[\left[-\frac{1}{s} e^{-s(1)} + \frac{1}{s} e^{-s(0)} \right] -  \left[- \frac{1}{s} e^{-s(2)} + \frac{1}{s} e^{-s(1)} \right] \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-2s}} \left[\left[-\frac{1}{s} e^{-s} + \frac{1}{s} (1) \right] -  \left[- \frac{1}{s} e^{-2s} + \frac{1}{s} e^{-s} \right] \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-2s}} \left[\left[-\frac{1}{s} e^{-s} + \frac{1}{s} \right] -  \left[- \frac{1}{s} e^{-2s} + \frac{1}{s} e^{-s} \right] \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-2s}} \left(-\frac{1}{s} e^{-s} + \frac{1}{s} + \frac{1}{s} e^{-2s} - \frac{1}{s} e^{-s} \right)

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-2s}} \left(\frac{1}{s} e^{-2s} - \frac{2}{s} e^{-s} + \frac{1}{s} \right)

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{s(1-e^{-2s})} \left(e^{-2s} - 2e^{-s} + 1 \right)

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{s(1-e^{-s})(1+e^{-s})} \left(e^{-s} - 1 \right)^2

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{s(1+e^{-s})} (e^{-s} - 1)

Finalmente

\displaystyle \therefore \mathcal{L}[f(t)] = \frac{(e^{-s} - 1)}{s(1+e^{-s})}

Problema 3. Hallar la transformada de Laplace para la siguiente función periódica.

Figura 2. Función periódica del problema 3.

Solución. Aplicando el método de punto y pendiente [sabiendo que es (0,0) y (1,1)], resulta que

\displaystyle y-y_0 = \left(\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \right) (x - x_0)

Cambiando la variable x por t y y por f(t), se expresa que

\displaystyle f(t) - f(t_0) = \left[\frac{f(t_1) - f(t_0)}{t_1 - t_0} \right] (t - t_0)

Sustityendo

\displaystyle f(t)-0 = \left(\frac{1 - 0}{1 - 0} \right) (t - 0)

\displaystyle f(t) = \left(\frac{1}{1} \right) (t)

\displaystyle f(t) = (1) (t)

\displaystyle f(t) = t

Ahora, tomando la fórmula para determinar la transformada de Laplace de una función periódica

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int^{T}_{0}{e^{-st} f(t) \ dt}

Sustituyendo

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s(1)}} \int^{1}_{0}{e^{-st} (t) \ dt}

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s}} \int^{1}_{0}{t e^{-st} \ dt}

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s}} \left[-\frac{1}{s} t e^{-st} - \frac{1}{s^2} e^{-st} \right]^{1}_{0}

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s}} \left[\left(-\frac{1}{s} (1) e^{-s(1)} - \frac{1}{s^2} e^{-s(1)} \right) - \left(-\frac{1}{s} (0) e^{-s(0)} - \frac{1}{s^2} e^{-s(0)} \right) \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s}} \left[\left(-\frac{1}{s} e^{-s} - \frac{1}{s^2} e^{-s} \right) - \left(0 - \frac{1}{s^2} e^{0} \right) \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s}} \left[\left(-\frac{1}{s} e^{-s} - \frac{1}{s^2} e^{-s} \right) - \left(- \frac{1}{s^2}(1) \right) \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s}} \left[\left(-\frac{1}{s} e^{-s} - \frac{1}{s^2} e^{-s} \right) - \left(- \frac{1}{s^2} \right) \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s}} \left[\left(-\frac{1}{s} e^{-s} - \frac{1}{s^2} e^{-s} \right) + \frac{1}{s^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s}} \left(-\frac{1}{s} e^{-s} - \frac{1}{s^2} e^{-s} + \frac{1}{s^2} \right)

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = \frac{1}{1-e^{-s}} \left[-\frac{1}{s} e^{-s} + \frac{1}{s^2} (1 - e^{-s}) \right]

\displaystyle \mathcal{L}[f(t)] = - \frac{e^{-s}}{s(1-e^{-s})}+ \frac{1}{s^2}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{L}[f(t)] = - \frac{e^{-s}}{s(1-e^{-s})}+ \frac{1}{s^2}

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