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Propiedad de la multiplicación por potencias de «t» en la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Si \mathcal{L}[f(t)] = F(s), entonces

\displaystyle \mathcal{L}[t^n f(t)] = {(-1)}^n F^{(n)} (s)

\displaystyle \mathcal{L}[t^n f(t)] = {(-1)}^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar \displaystyle \mathcal{L} [t \sin{at}].

Solución. Primero se determina la transformada de Laplace de \sin{at}.

\displaystyle \mathcal{L} [\sin{at}] = \frac{a}{s^2+a^2}

Ahora, aplicando la propiedad de multiplicación por potencias de t, se observa que n=1 (analizando la función del problema). Como n=1, por la propiedad, sólo se derivará una vez.

\displaystyle \mathcal{L}[t^n f(t)] = {(-1)}^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)

\displaystyle \mathcal{L}[t f(t)] = (-1) \frac{d}{ds} F(s)

\displaystyle \mathcal{L} [t \sin{at}] = (-1) \frac{d}{ds} \left(\frac{a}{s^2+a^2} \right)

\displaystyle \mathcal{L} [t \sin{at}] = - \frac{d}{ds} \left(\frac{a}{s^2+a^2} \right)

\displaystyle \mathcal{L} [t \sin{at}] = -a \ \frac{d}{ds} \left(\frac{a}{s^2+a^2} \right)

\displaystyle \mathcal{L} [t \sin{at}] = - a \ \left[-\frac{2s}{(s^2+a^2)^2} \right]

Finalmente

\displaystyle \therefore \mathcal{L} [t \sin{at}] = \frac{2as}{(s^2+a^2)^2}

Problema 2. Hallar \displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}].

Solución. Se determina la transformada de Laplace de \cos{3t}.

\displaystyle \mathcal{L} [\cos{3t}] = \frac{s}{s^2+3^2}

\displaystyle \mathcal{L} [\cos{3t}] = \frac{s}{s^2+9}

Al utilizar la propiedad de multiplicación por potencias de «latex t», se observa que se tiene un t^2, es decir n=2. Esto significa que se derivará dos veces el resultado de la transformada de Laplace de \cos{3t}. Entonces

\displaystyle \mathcal{L}[t^n f(t)] = {(-1)}^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)

\displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = (-1)^2 \frac{d^2}{ds^2} \left[\frac{s}{s^2+9} \right]

\displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = \frac{d}{ds} \left[\frac{(s^2+9)(1) - (s)(2s)}{(s^2+9)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = \frac{d}{ds} \left[\frac{s^2+9 - 2s^2}{(s^2+9)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = \frac{d}{ds} \left[\frac{9 - s^2}{(s^2+9)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = \frac{(s^2+9)^2 \cdot (-2s) - 2(s^2+9)(2s) \cdot (9-s^2)}{(s^2+9)^4}

\displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = \frac{(s^4+18s^2+81) \cdot (-2s) - (4s^3+36s) \cdot (9-s^2)}{(s^2+9)^4}

\displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = \frac{(-2s^5-36s^3-162s) - (36s^3-4s^5+324s-36s^3)}{(s^2+9)^4}

\displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = \frac{-2s^5-36s^3-162s - 36s^3 +4s^5-324s+36s^3}{(s^2+9)^4}

\displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = \frac{2s^5 - 36s^3 - 486s}{(s^2+9)^4}

\displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = \frac{2s(s^4 - 18s^2 - 243)}{(s^2+9)^4}

\displaystyle \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = \frac{2s(s^2+9)(s^-27))}{(s^2+9)^4}

Finalmente

\displaystyle \therefore \mathcal{L} [t^2 \cos{3t}] = \frac{2s(s^2-27)}{(s^2+9)^3}

Problema 3. Determinar \displaystyle \mathcal{L} [t^5 e^{-t}].

Solución. Se halla la transformada de Laplace para e^{-t}.

\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t}] = \frac{1}{s+1}

Al tomar la propiedad de multiplicación por potencias de «latex t», se observa que se tiene un t^5, es decir n=5. Esto significa que se derivará cinco veces el resultado de la transformada de Laplace de e^{-t}. Entonces

\displaystyle \mathcal{L}[t^n f(t)] = {(-1)}^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)

\displaystyle \mathcal{L}[t^5 e^{-t}] = {(-1)}^5 \frac{d^5}{ds^5} \left(\frac{1}{s+1} \right)

\displaystyle \mathcal{L}[t^5 e^{-t}] = - \frac{d^4}{ds^4} \left[- \frac{1}{(s+1)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t^5 e^{-t}] = - \frac{d^3}{ds^3} \left[ \frac{2}{(s+1)^3} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t^5 e^{-t}] = - \frac{d^2}{ds^2} \left[- \frac{6}{(s+1)^4} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t^5 e^{-t}] = - \frac{d}{ds} \left[ \frac{24}{(s+1)^5} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t^5 e^{-t}] = - \left[- \frac{120}{(s+1)^6} \right]

Finalmente

\displaystyle \therefore \mathcal{L}[t^5 e^{-t}] = \frac{120}{(s+1)^6}

Problema 4. Hallar \displaystyle \mathcal{L} [t\sin{t} + t\cos{t}].

Solución. Empezando por utilizar la propiedad de linealidad, resulta

\displaystyle \mathcal{L} [t \sin{t} + t\cos{t}] = \mathcal{L}[t \sin{t}] + \mathcal{L}[t \cos{t}]

La transformada de Laplace de \sin{t} es

\displaystyle \mathcal{L} [\sin{t}] = \frac{1}{s^2+1}

Y la transformada de Laplace de \cos{t} es

\displaystyle \mathcal{L} [\cos{t}] = \frac{s}{s^2+1}

Al tomar la propiedad de multiplicación por potencias de «latex t», se observa que se ambos términos (dentro de la transformada de Laplace) tienen un t, es decir n=1. Esto significa que se derivará una vez el resultado de la transformada de Laplace de cada término del segundo miembro. Así que

\displaystyle \mathcal{L}[t^n f(t)] = {(-1)}^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)

\displaystyle \mathcal{L}[t \sin{t} + t \cos{t}] = {(-1)}^1 \frac{d}{ds} \left[\frac{1}{s^2+1} \right] + {(-1)}^1 \frac{d}{ds} \left[\frac{s}{s^2+1} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t \sin{t} + t \cos{t}] = - \frac{d}{ds} \left[\frac{1}{s^2+1} \right] - \frac{d}{ds} \left[\frac{s}{s^2+1} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t \sin{t} + t \cos{t}] = - \left[-\frac{2s}{(s^2+1)^2} \right] - \left[\frac{(s^2+1)(1) - (s)(2s)}{(s^2+1)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t \sin{t} + t \cos{t}] = - \left[-\frac{2s}{(s^2+1)^2} \right] - \left[\frac{(s^2+1) - (2s^2)}{(s^2+1)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t \sin{t} + t \cos{t}] = - \left[-\frac{2s}{(s^2+1)^2} \right] - \left[\frac{s^2+1 - 2s^2}{(s^2+1)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t \sin{t} + t \cos{t}] = - \left[- \frac{2s}{(s^2+1)^2} \right] - \left[\frac{1 - s^2}{(s^2+1)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t \sin{t} + t \cos{t}] = \frac{2s}{(s^2+1)^2} - \frac{1 - s^2}{(s^2+1)^2}

\displaystyle \mathcal{L}[t \sin{t} + t \cos{t}] = \frac{2s - 1 + s^2}{(s^2+1)^2}

Finalmente

\displaystyle \therefore \mathcal{L}[t \sin{t} + t \cos{t}] = \frac{s^2+2s-1}{(s^2+1)^2}

Problema 5. Obtener el resultado de \displaystyle \mathcal{L} [te^{-t} \cosh{t}].

Solución. Se determina la transformada de Laplace de e^{-t} \cosh{t} utilizando la primera propiedad de traslación.

\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} \cosh{t}] = \frac{(s+1)}{(s+1)^2 - 1}

\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} \cosh{t}] = \frac{(s+1)}{s^2 + 2s + 1 - 1}

\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} \cosh{t}] = \frac{(s+1)}{s^2 + 2s}

Al tomar la propiedad de multiplicación por potencias de «latex t», se observa que se tiene un t, es decir n=1. Esto significa que se derivará una vez el resultado de la transformada de Laplace de e^{-t} \cosh{t}. Entonces

\displaystyle \mathcal{L}[t^n f(t)] = {(-1)}^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)

\displaystyle \mathcal{L}[t e^{-t} \cosh{t}] = {(-1)}^1 \frac{d}{ds} \left[\frac{s+1}{s^2+2s} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t e^{-t} \cosh{t}] = - \left[\frac{(s^2+2s)(1) - (2s+2)(s+1)}{(s^2+2s)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t e^{-t} \cosh{t}] = - \left[\frac{(s^2+2s) - (2s^2+ 2s + 2s+2)}{(s^2+2s)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t e^{-t} \cosh{t}] = - \left[\frac{(s^2+2s) - (2s^2+ 4s+2)}{(s^2+2s)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t e^{-t} \cosh{t}] = - \left[\frac{s^2+2s - 2s^2 - 4s - 2}{(s^2+2s)^2} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t e^{-t} \cosh{t}] = - \left[\frac{-s^2 - 2s - 2}{(s^2+2s)^2} \right]

Finalmente

\displaystyle \therefore \mathcal{L}[t e^{-t} \cosh{t}] = \frac{s^2 + 2s + 2}{(s^2+2s)^2}


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