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Transformada de Laplace de la derivada en una función. Laplace.

Transformada de Laplace en la primera derivada de una función

Si \mathcal{L}[f(t)] = F(s), entonces

\displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{d}{dt} f(t) \right] = s F(s) - f(0)

O también

\displaystyle \mathcal{L} \left[f'(t) \right] = s F(s) - f(0)

si f(t) es continua para 0 \le t \le N y de orden exponencial para t>N mientras que f(t) es seccionalmente continua para 0 \le t \le N.

Transformada de Laplace en la segunda derivada de una función

Si \mathcal{L}[f(t)] = F(s), entonces

\displaystyle \mathcal{L}[f''(t)] =  s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)

Transformada de Laplace en la «n» derivada de una función

Si \mathcal{L}[f(t)] = F(s), entonces

\mathcal{L}[f^{n}(t)] = s^n F(s) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - \cdots - s f^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0)

si f(t), \cdots , f^{(n-1)}(0) son continuas para 0\le t \le N y de orden exponencial para t>N, además, si f^{(n)}(t) es seccionalmente continua para 0 \le t \le N.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar \displaystyle \mathcal{L} [t].

Solución. Sea f(t) = t, donde determinando su primera derivada, resulta que f'(t) = 1. Al tomar t=0, esto hace que f(0) = 0.

Así que, aplicando la propiedad de la transformada de Laplace en la primera derivada de una función y sustituyendo, se tiene que

\displaystyle \mathcal{L} [f'(t)] = s \ F(s) - f(0)

\displaystyle \mathcal{L} [1] = s \ F(s) - 0

\displaystyle \frac{1}{s} = s \ F(s)

\displaystyle \frac{1}{s^2} = F(s)

\displaystyle F(s) =  \frac{1}{s^2}

\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] =  \frac{1}{s^2}

\displaystyle \mathcal{L} [t] =  \frac{1}{s^2}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{L} [t] =  \frac{1}{s^2}

Problema 2. Hallar \displaystyle \mathcal{L} [\cos{t}].

Solución. Primero, sea f(t) = \cos{t} y cuando t=0, esto hace que f(0) = \cos{0} = 1. Al determinar la primera derivada de \cos{t}, se tiene que f'(t) = - \sin{t}.

Aplicando la propiedad de la transformada de Laplace en la primera derivada de una función, resulta que

\displaystyle \mathcal{L} [f'(t)] = s \ F(s) - f(0)

\displaystyle \mathcal{L} [- \sin{t}] = s \ F(s) - 1

\displaystyle - \mathcal{L} [\sin{t}] = s \ F(s) - 1

\displaystyle - \frac{1}{s^2+1} = s \ F(s) - 1

\displaystyle 1 - \frac{1}{s^2+1} = s \ F(s)

\displaystyle \frac{s^2+1}{s^2+1} - \frac{1}{s^2+1} = s \ F(s)

\displaystyle \frac{s^2+1 - 1}{s^2+1} = s \ F(s)

\displaystyle \frac{s^2}{s^2+1} = s\  F(s)

\displaystyle \frac{\frac{s^2}{s^2+1}}{s} = F(s)

\displaystyle \frac{s^2}{s(s^2+1)} = F(s)

\displaystyle \frac{s}{s^2+1} = F(s)

\displaystyle F(s) = \frac{s}{s^2+1}

\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \frac{s}{s^2+1}

\displaystyle \mathcal{L} [\cos{t}] = \frac{s}{s^2+1}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{L} [\cos{t}] = \frac{s}{s^2+1}

Problema 3. Hallar \mathcal{L} [t \cos{\omega t}].

Solución. Sea f(t) = t \cos{\omega t} y cuando t=0, esto hace que f(0) = 0. Y la primera derivada de f(t) = t \cos{\omega t} es f'(t) = \cos{\omega t} - \omega t \sin{\omega t}.

Aplicando la propiedad de la transformada de Laplace de la primera derivada de una función, se tiene lo siguiente

\displaystyle \mathcal{L} [f'(t)] = s \ F(s) - f(0)

\displaystyle \mathcal{L} [\cos{\omega t} - \omega t \sin{\omega t}] = s \ F(s) - 0

\displaystyle \mathcal{L} [\cos{\omega t} - \omega t \sin{\omega t}] = s \ F(s)

Aplicando la primera propiedad en el primer miembro, resulta

\displaystyle \mathcal{L} [\cos{\omega t}] - \mathcal[\omega t \sin{\omega t}] = s \ F(s)

\displaystyle \mathcal{L} [\cos{\omega t}] - \omega \mathcal[t \sin{\omega t}] = s \ F(s)

Esto complica utilizando esta propiedad. Así que, por conveniencia, se tomará la propiedad de la transformada de Laplace de la segunda derivada de una función. Antes de utilizarla, se determina la segunda derivada de f(t) = t \cos{\omega t}, el cual es f''(t) = - 2 \omega \sin{\omega t} - \omega^2 t \cos{\omega t}. Del resultado de la primera derivada de f(t) = t \cos{\omega t}, cuando t=0, hará que f'(0) = 1. Utilizando la fórmula y sustituyendo

\displaystyle \mathcal{L} [f''(t)] = s^2 \ F(s) - s \ f(0) - f'(0)

\displaystyle \mathcal{L} [-2 \omega \sin{\omega t} - \omega^2 t \cos{\omega t}] = s^2 \ F(s) - s (0) - 1

\displaystyle \mathcal{L} [-2 \omega \sin{\omega t} - \omega^2 t \cos{\omega t}] = s^2 \ F(s) - 1

Por propiedad de linealidad en el miembro izquierdo

\displaystyle \mathcal{L} [-2 \omega \sin{\omega t}] - \mathcal{L} [\omega^2 t \cos{\omega t}] = s^2 \ F(s) - 1

\displaystyle -2 \omega \mathcal{L} [\sin{\omega t}] - \omega^2 \mathcal{L} [t \cos{\omega t}] = s^2 \ F(s) - 1

Determinando la transformada de Laplace del \sin{\omega t},

\displaystyle -2 \omega \left( \frac{\omega}{s^2+\omega^2} \right) - \omega^2 \mathcal{L} [t \cos{\omega t}] = s^2 \ F(s) - 1

\displaystyle - \frac{2 \omega^2}{s^2+\omega^2} - \omega^2 \mathcal{L} [t \cos{\omega t}] = s^2 \ F(s) - 1

\displaystyle 1 - \frac{2 \omega^2}{s^2+\omega^2} - \omega^2 \mathcal{L} [t \cos{\omega t}] = s^2 \ F(s)

\displaystyle 1 - \frac{2 \omega^2}{s^2+\omega^2} - \omega^2 \mathcal{L} [t \cos{\omega t}] = s^2 \mathcal{L} [f(t)]

\displaystyle 1 - \frac{2 \omega^2}{s^2+\omega^2} - \omega^2 \mathcal{L} [t \cos{\omega t}] = s^2 \mathcal{L} [t \cos{\omega t}]

Reduciendo términos

\displaystyle 1 - \frac{2 \omega^2}{s^2+\omega^2} = \omega^2 \mathcal{L} [t \cos{\omega t}] + s^2 \mathcal{L} [t \cos{\omega t}]

\displaystyle 1 - \frac{2 \omega^2}{s^2+\omega^2} = (s^2 + \omega^2) \mathcal{L} [t \cos{\omega t}]

\displaystyle \frac{s^2+\omega^2}{s^2+\omega^2} - \frac{2 \omega^2}{s^2+\omega^2} = (s^2 + \omega^2) \mathcal{L} [t \cos{\omega t}]

\displaystyle \frac{s^2+\omega^2 - 2 \omega^2}{s^2+\omega^2} = (s^2 + \omega^2) \mathcal{L} [t \cos{\omega t}]

\displaystyle \frac{s^2 - \omega^2}{s^2+\omega^2} = (s^2 + \omega^2) \mathcal{L} [t \cos{\omega t}]

\displaystyle \frac{s^2 - \omega^2}{(s^2+\omega^2)(s^2+\omega^2)} = \mathcal{L} [t \cos{\omega t}]

\displaystyle \frac{s^2 - \omega^2}{(s^2+\omega^2)^2} = \mathcal{L} [t \cos{\omega t}]

\displaystyle \mathcal{L} [t \cos{\omega t}] = \frac{s^2 - \omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}

Finalmente,

\displaystyle \therefore \mathcal{L} [t \cos{\omega t}] = \frac{s^2 - \omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}



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