Propiedad del cambio de escala en la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Si $\mathcal{L}[f(t)] = F(s)$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{L} [f(at)] = \frac{1}{a} \cdot F(\frac{s}{a})$

Problemas resueltos

Problema 1. Si $\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \frac{s^2-s+1}{(2s+1)^2 (s-1)}$ , hallar $\mathcal{L} [f(2t)]$ .

Solución. Por medio de la fórmula

$\displaystyle \mathcal{L} [f(at)] = \frac{1}{a} \cdot F(\frac{s}{a})$

Entonces, de la función

$\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \frac{s^2-s+1}{(2s+1)^2 (s-1)}$

Cambiando $f(t)$ por $f(2t)$ , resulta que

$\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\left(\frac{s}{2} \right)^2- \frac{s}{2} + 1}{\left[2 \left(\frac{s}{2} \right) + 1 \right]^2 \left(\frac{s}{2} - 1 \right)}$

$\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{s^2}{4} - \frac{s}{2} + 1}{(s + 1)^2 \left(\frac{s}{2} - 1 \right)}$

$\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{s^2}{4} - \frac{2s}{4} + \frac{4}{4}}{(s + 1)^2 \left(\frac{s}{2} - \frac{2}{2} \right)}$

$\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{s^2 - 2s + 4}{4}}{(s + 1)^2 \left(\frac{s - 2}{2} \right)}$

$\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{s^2 - 2s + 4}{2}}{(s + 1)^2 (s - 2)}$

$\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{s^2 - 2s + 4}{(s + 1)^2 (s - 2)}$

$\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{4} \cdot \frac{s^2 - 2s + 4}{(s + 1)^2 (s - 2)}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{s^2 - 2s + 4}{4 (s + 1)^2 (s - 2)}$

Problema 2. Si $\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \frac{e^{-\frac{1}{s}}}{s}$ , hallar $\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} f(3t)]$ .

Solución. Observando la fórmula

$\displaystyle \mathcal{L} [f(at)] = \frac{1}{a} \cdot F(\frac{s}{a})$

Entonces, de la función

$\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \frac{e^{-\frac{1}{s}}}{s}$

Primero, se aplica la primera propiedad de traslación (donde $a=-1$ ).

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} \ f(t)] = \frac{e^{-\frac{1}{(s+1)}}}{(s+1)}$

Cambiando $e^{-t} \ f(t)$ por $e^{-t} f(3t)$ , resulta que

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} \ f(t)] = \frac{e^{-\frac{1}{(s+1)}}}{(s+1)}$

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} \ f(3t)] = \frac{1}{3} \cdot \frac{e^{-\frac{1}{\frac{(s+1)}{3}}}}{\frac{(s+1)}{3}}$

$\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} \ f(3t)] = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \ e^{-\frac{3}{(s+1)}}}{(s+1)}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} [e^{-t} \ f(3t)] = \frac{e^{-\frac{3}{(s+1)}}}{(s+1)}$

Problema 3. Dado que $\displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{t}}{t} \right] = \tan^{-1}{\left(\frac{1}{s} \right)}$ , hallar $\displaystyle \mathcal{L} \left[\frac{\sin{at}}{t} \right]$ .

Solución. De la primera expresión, se cambia $t$ por $at$ .

$\displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{t}}{t} \right] = \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{at} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{t}}{t} \right] = \frac{1}{a} \cdot \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right]$

Aplicando la propiedad de cambio de escala

$\displaystyle \mathcal{L} [f(at)] = \frac{1}{a} \cdot F(\frac{s}{a})$

Se tiene que

$\displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{t}}{t} \right] = \frac{1}{a} \cdot \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right]$

$\displaystyle \frac{1}{a} \cdot \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right] = \frac{1}{a} \cdot \tan^{-1}{\left(\frac{1}{\frac{s}{a}} \right)}$

$\displaystyle \frac{1}{a} \cdot \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right] = \frac{1}{a} \cdot \tan^{-1}{\left(\frac{a}{s} \right)}$

$\displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right] = \tan^{-1}{\left(\frac{a}{s} \right)}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right] = \tan^{-1}{\left(\frac{a}{s} \right)}$

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Publicado por Cesar Reyes

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