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Propiedad del cambio de escala en la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Si \mathcal{L}[f(t)] = F(s), entonces

\displaystyle \mathcal{L} [f(at)] = \frac{1}{a} \cdot F(\frac{s}{a})

Problemas resueltos

Problema 1. Si \displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \frac{s^2-s+1}{(2s+1)^2 (s-1)}, hallar \mathcal{L} [f(2t)].

Solución. Por medio de la fórmula

\displaystyle \mathcal{L} [f(at)] = \frac{1}{a} \cdot F(\frac{s}{a})

Entonces, de la función

\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \frac{s^2-s+1}{(2s+1)^2 (s-1)}

Cambiando f(t) por f(2t), resulta que

\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\left(\frac{s}{2} \right)^2- \frac{s}{2} + 1}{\left[2 \left(\frac{s}{2} \right) + 1 \right]^2 \left(\frac{s}{2} - 1 \right)}

\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{s^2}{4} - \frac{s}{2} + 1}{(s + 1)^2 \left(\frac{s}{2} - 1 \right)}

\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{s^2}{4} - \frac{2s}{4} + \frac{4}{4}}{(s + 1)^2 \left(\frac{s}{2} - \frac{2}{2} \right)}

\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{s^2 - 2s + 4}{4}}{(s + 1)^2 \left(\frac{s - 2}{2} \right)}

\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{s^2 - 2s + 4}{2}}{(s + 1)^2 (s - 2)}

\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{s^2 - 2s + 4}{(s + 1)^2 (s - 2)}

\displaystyle \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{1}{4} \cdot \frac{s^2 - 2s + 4}{(s + 1)^2 (s - 2)}

Finalmente

\displaystyle \therefore \mathcal{L} [f(2t)] = \frac{s^2 - 2s + 4}{4 (s + 1)^2 (s - 2)}

Problema 2. Si \displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \frac{e^{-\frac{1}{s}}}{s}, hallar \displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} f(3t)].

Solución. Observando la fórmula

\displaystyle \mathcal{L} [f(at)] = \frac{1}{a} \cdot F(\frac{s}{a})

Entonces, de la función

\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \frac{e^{-\frac{1}{s}}}{s}

Primero, se aplica la primera propiedad de traslación (donde a=-1).

\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} \ f(t)] = \frac{e^{-\frac{1}{(s+1)}}}{(s+1)}

Cambiando e^{-t} \ f(t) por e^{-t} f(3t), resulta que

\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} \ f(t)] = \frac{e^{-\frac{1}{(s+1)}}}{(s+1)}

\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} \ f(3t)] = \frac{1}{3} \cdot \frac{e^{-\frac{1}{\frac{(s+1)}{3}}}}{\frac{(s+1)}{3}}

\displaystyle \mathcal{L} [e^{-t} \ f(3t)] = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \ e^{-\frac{3}{(s+1)}}}{(s+1)}

Finalmente

\displaystyle \therefore \mathcal{L} [e^{-t} \ f(3t)] = \frac{e^{-\frac{3}{(s+1)}}}{(s+1)}

Problema 3. Dado que \displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{t}}{t} \right] = \tan^{-1}{\left(\frac{1}{s} \right)}, hallar \displaystyle \mathcal{L} \left[\frac{\sin{at}}{t} \right].

Solución. De la primera expresión, se cambia t por at.

\displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{t}}{t} \right] = \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{at} \right]

\displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{t}}{t} \right] = \frac{1}{a} \cdot \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right]

Aplicando la propiedad de cambio de escala

\displaystyle \mathcal{L} [f(at)] = \frac{1}{a} \cdot F(\frac{s}{a})

Se tiene que

\displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{t}}{t} \right] = \frac{1}{a} \cdot \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right]

\displaystyle \frac{1}{a} \cdot \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right] = \frac{1}{a} \cdot \tan^{-1}{\left(\frac{1}{\frac{s}{a}} \right)}

\displaystyle \frac{1}{a} \cdot \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right] = \frac{1}{a} \cdot \tan^{-1}{\left(\frac{a}{s} \right)}

\displaystyle \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right] = \tan^{-1}{\left(\frac{a}{s} \right)}

Finalmente

\displaystyle \therefore \mathcal{L} \left[ \frac{\sin{at}}{t} \right] = \tan^{-1}{\left(\frac{a}{s} \right)}


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