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Segunda propiedad de traslación en la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Si f(t) = F(s), para f(t-a) si t>a es

\mathcal{L} [f(t-a)] = e^{-as} F(s)

Problemas resueltos

Problema 1. Obtener la transformada de Laplace para la función

\displaystyle f(t) =  \left\{ \begin{matrix} \cos{(t - \frac{2\pi}{3})} \quad \text{para} \ t > \frac{2\pi}{3} \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ \text{para} \ t < \frac{2\pi}{3} \end{matrix} \right.

Solución. Primero, se determina la transformada de Laplace de la función \cos{t}.

\displaystyle \mathcal{L} [\cos{t}] = \frac{s}{s^2+1^2}

\displaystyle \mathcal{L} [\cos{t}] = \frac{s}{s^2+1}

Observando la función \cos{(t - \frac{2\pi}{3})} y comparando con f(t-a), se tiene que

\displaystyle f(t-a) = \cos{(t - \frac{2\pi}{3})}

Luego

\displaystyle t-a = t - \frac{2\pi}{3}

\displaystyle a = \frac{2\pi}{3}

Así que

\displaystyle e^{-as} \cdot \left(\frac{s}{s^2+1} \right) = e^{-\frac{2\pi}{3} s} \cdot  \left(\frac{s}{s^2+1} \right)

\displaystyle e^{-as} \cdot \left(\frac{s}{s^2+1} \right) = \frac{s \ e^{-\frac{2\pi}{3} s} }{s^2+1}

Finalmente

\displaystyle \therefore f(t) =  \frac{s \ e^{-\frac{2\pi}{3} s}}{s^2+1}

Problema 2. Obtener la transformada de Laplace para la función

\displaystyle f(t) =  \left\{\begin{matrix} (t-1)^2 \quad \quad \quad \text{para} \ t > 1 \\ 0 \quad \quad \quad \quad \text{para} \ 0 < t < 1 \end{matrix} \right.

Solución. Primero, se determina la transformada de Laplace de la función t^2.

\displaystyle \mathcal{L} [t^2] = \frac{2!}{s^3}

\displaystyle \mathcal{L} [t^2] = \frac{2}{s^3}

Observando la función (t - 1)^2 y comparando con f(t-a), se tiene que

\displaystyle f(t-a) = (t-1)^2

Luego

\displaystyle t-a = t - 1

\displaystyle a = 1

Así que

\displaystyle e^{-as} \cdot \left(\frac{2}{s^3} \right) = e^{-1 \cdot s} \cdot  \left(\frac{2}{s^3} \right)

\displaystyle e^{-as} \cdot \left(\frac{2}{s^3} \right) = e^{-s} \cdot  \left(\frac{2}{s^3} \right)

\displaystyle e^{-as} \cdot \left(\frac{2}{s^3} \right) = \frac{2  e^{-s}}{s^3}

Finalmente

\displaystyle \therefore f(t) =  \frac{2 e^{-s}}{s^3}


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