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Propiedad de linealidad en la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Si c_1 y c_2 son constantes y f_1 (t) y f_2(t) son cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, F_1 (s) y F_2(s), entonces es

\displaystyle \mathcal{L} [c_1 f_1 (t) + c_2 f_2(t)] = c_1 \mathcal{L}[f_1 (t)] + c_2 \mathcal{L} [f_2 (t)]

O también

\mathcal{L} [c_1 f_1(t) + c_2 f_2 (t)] = c_1 F_1 (s) + c_2 F_2 (s)

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar \displaystyle y(t) = 4e^{5t} + 6t^3 - 3 \sin{4t} + 2\cos{2t}.

Solución. Aplicando la propiedad de la linealidad, se tiene que

\displaystyle y(t) = 4e^{5t} + 6t^3 - 3 \sin{4t} + 2\cos{2t}

\displaystyle  \mathcal{L} [y(t)] = \mathcal{L} [4e^{5t} + 6t^3 - 3 \sin{4t} + 2\cos{2t}]

\displaystyle  \mathcal{L} [y(t)] = \mathcal{L} [4e^{5t}] +  \mathcal{L} [6t^3] -  \mathcal{L} [3 \sin{4t}] +  \mathcal{L} [2\cos{2t}]

\displaystyle  \mathcal{L} [y(t)] = 4 \ \mathcal{L} [e^{5t}] + 6 \ \mathcal{L} [t^3] -  3 \ \mathcal{L} [\sin{4t}] + 2 \ \mathcal{L} [\cos{2t}]

\displaystyle  Y(s) = 4 \left( \frac{1}{s-5} \right) + 6 \left(\frac{3!}{s^4} \right) -  3 \left(\frac{4}{s^2 + 4^2} \right) + 2  \left(\frac{s}{s^2 + 2^2} \right)

\displaystyle  \therefore Y(s) = \frac{4}{s-5} + \frac{36}{s^4} -  \frac{12}{s^2 + 16} +  \frac{2s}{s^2 + 4}

Problema 2. Hallar \displaystyle y(t) = 3t^4 - 2t^3 + 4e^{-3t} - 2\sin{5t} + 3\cos{2t}.

Solución. Aplicando la propiedad de la linealidad, se tiene que

\displaystyle y(t) = 3t^4 - 2t^3 + 4e^{-3t} - 2\sin{5t} + 3\cos{2t}

\displaystyle \mathcal{L} [y(t)] = \mathcal{L} [3t^4 - 2t^3 + 4e^{-3t} - 2\sin{5t} + 3\cos{2t}]

\displaystyle  \mathcal{L} [y(t)] = \mathcal{L} [3t^4] - \mathcal{L} [2t^3] + \mathcal{L} [4 e^{-3t}] - \mathcal{L} [2\sin{5t}] + \mathcal{L} [3 \cos{2t}]

\displaystyle  \mathcal{L} [y(t)] = 3 \ \mathcal{L} [t^4] -2 \ \mathcal{L} [t^3] + 4 \ \mathcal{L} [e^{-3t}] - 2 \ \mathcal{L} [\sin{5t}] + 3 \ \mathcal{L} [\cos{2t}]

\displaystyle Y(s) = 3 \left( \frac{4!}{s^5} \right) - 2 \left( \frac{3!}{s^4} \right) + 4 \left(\frac{1}{s+3} \right) - 2\left(\frac{5}{s^2 + 5^2} \right) + 3 \left(\frac{s}{s^2 + 2^2} \right)

\displaystyle \therefore Y(s) = \frac{72}{s^5} - \frac{12}{s^4} + \frac{4}{s+3} - \frac{10}{s^2 + 25} +  \frac{3s}{s^2 + 4}

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