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Evaluación de integrales y la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Si F(s) = \mathcal{L}[f(t)], entonces

\displaystyle \int^{\infty}_{0}{e^{-st} f(t) dt} = F(s)

Tomando el límite cuando s \rightarrow 0, se tiene que

\displaystyle \lim_{s \rightarrow 0}{\int^{\infty}_{0}{e^{-st} f(t) dt}} = \lim_{s \rightarrow 0}{F(s)}

\displaystyle \int^{\infty}_{0}{f(t) dt} = F(0)

suponiendo que la integral sea convergente.

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular \displaystyle \int_{0}^{\infty}{t e^{-2t} \cos{t} \ dt}.

Solución del problema 1. Se sabe que la transformada de Laplace para e^{-t} - e^{-3t} es

\displaystyle \mathcal{L} [\cos{t}] = \frac{s}{s^2+1}

Determinando la transformada de Laplace para t \cos{t} utilizando el teorema de multiplicación por potencias de t (donde n=1), se tiene que

\displaystyle \mathcal{L}[t \cos{t}] = - \frac{d}{ds} {\mathcal{L}[\cos{t}]}

\displaystyle \mathcal{L}[t \cos{t}] = - \frac{d}{ds} \left[\frac{s}{s^2 + 1} \right]

\displaystyle \mathcal{L}[t \cos{t}] = - \frac{(s^2+1) \frac{d}{ds} (s) - (s) \frac{d}{ds} (s^2+1)}{(s^2+1)^2}

\displaystyle \mathcal{L}[t \cos{t}] = - \frac{(s^2+1)(1) - (s)  (2s)}{(s^2+1)^2}

\displaystyle \mathcal{L}[t \cos{t}] = - \frac{s^2+1- 2s^2}{(s^2+1)^2}

\displaystyle \mathcal{L}[t \cos{t}] = - \frac{1-s^2}{(s^2+1)^2}

\displaystyle \mathcal{L}[t \cos{t}] = \frac{s^2-1}{(s^2+1)^2}

Se observa que

\displaystyle \mathcal{L}[t \cos{t}] = \int_{0}^{\infty}{e^{-st} \cdot t \cos{t} \ dt}

Comparando con la integral del problema

\displaystyle  \int_{0}^{\infty}{e^{-st} \cdot t \cos{t} \ dt} = \int_{0}^{\infty}{t e^{-2t} \cos{t} \ dt}

Se muestra que s=2. Así que del resultado de la transformada de Laplace, tomando s=2, el resultado final es

\displaystyle \mathcal{L}[t \cos{t}] = \frac{s^2-1}{(s^2+1)^2}

\displaystyle  \int_{0}^{\infty}{e^{-st} \cdot t \cos{t} \ dt} = \frac{s^2-1}{(s^2+1)^2}

\displaystyle  \int_{0}^{\infty}{e^{-2t} \cdot t \cos{t} \ dt} = \frac{(2)^2-1}{(2^2+1)^2}

\displaystyle  \int_{0}^{\infty}{e^{-2t} \cdot t \cos{t} \ dt} = \frac{4-1}{(4+1)^2}

\displaystyle  \int_{0}^{\infty}{e^{-2t} \cdot t \cos{t} \ dt} = \frac{3}{(5)^2}

\displaystyle \therefore \int_{0}^{\infty}{e^{-2t} \cdot t \cos{t} \ dt} = \frac{3}{25}

Problema 2. Calcular \displaystyle \int_{0}^{\infty}{\frac{e^{-t} - e^{-3t}}{t} \ dt}.

Solución del problema 2. Se sabe que la transformada de Laplace para e^{-t} - e^{-3t} es

\displaystyle \mathcal{L}[e^{-t} - e^{-3t}] = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+3}

Determinando la transformada de Laplace para \displaystyle \frac{e^{-t} - e^{-3t}}{t} utilizando el teorema de la división por t, resulta lo siguiente

\displaystyle \mathcal{L} \left[\frac{e^{-t} - e^{-3t}}{t} \right] = \int_{s}^{\infty}{\left[\frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+3} \right] \ du}

\displaystyle \mathcal{L} \left[\frac{e^{-t} - e^{-3t}}{t} \right] = \int_{s}^{\infty}{\frac{1}{(u+1)} \ du} - \int_{s}^{\infty}{\frac{1}{(u+3)} \ du}

\displaystyle \mathcal{L} \left[\frac{e^{-t} - e^{-3t}}{t} \right] = \left. \ln{(u+1)} \right|_{s}^{\infty} - \left. \ln{(u+3)} \right|_{s}^{\infty}

\displaystyle \mathcal{L} \left[\frac{e^{-t} - e^{-3t}}{t} \right] = \ln{\frac{s+3}{s+1}}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}{e^{-st} \left(\frac{e^{-t} - e^{-3t}}{t} \right) \ dt} = \ln{\frac{s+3}{s+1}}

Tomando el límite cuando s=0^+, el resultado final es

\displaystyle \lim_{s \rightarrow 0^+}{\int_{0}^{\infty}{e^{-st} \left(\frac{e^{-t} - e^{-3t}}{t} \right) \ dt}} = \lim_{s \rightarrow 0^+}{\ln{\frac{s+3}{s+1}}}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}{e^{0} \left(\frac{e^{-t} - e^{-3t}}{t} \right) \ dt} = \ln{\frac{0+3}{0+1}}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}{\frac{e^{-t} - e^{-3t}}{t} \ dt} = \ln{\frac{3}{1}}

\displaystyle \therefore \int_{0}^{\infty}{\frac{e^{-t} - e^{-3t}}{t} \ dt} = \ln{3}

Problema 3. Calcular \displaystyle \int_{0}^{\infty}{J_0 (t) \ dt}.

Solución del problema 3. Se sabe que la transformada de Laplace para J_0 (t) es

\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{\sqrt{s^2+1}}

Ahora

\displaystyle \int_{0}^{\infty}{e^{-st} J_0 (t) \ dt} = \frac{1}{\sqrt{s^2+1}}

Tomando el límite cuando s \rightarrow 0^+, resulta que

\displaystyle \lim_{s \rightarrow 0^+}{\int_{0}^{\infty}{e^{-st} J_0 (t) \ dt}} = \lim_{s \rightarrow 0^+}{\frac{1}{\sqrt{s^2+1}}}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}{e^{0} J_0 (t) \ dt} = \frac{1}{\sqrt{0^2+1}}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}{(1) J_0 (t) \ dt} = \frac{1}{\sqrt{0+1}}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}{J_0 (t) \ dt} = \frac{1}{\sqrt{1}}

\displaystyle \therefore \int_{0}^{\infty}{ J_0 (t) \ dt} = 1

Problema 4. Calcular \displaystyle \int_{0}^{\infty}{e^{-t} \ \text{fer} \sqrt{t} \ dt}.

Solución del problema 4. Se sabe que la transformada de Laplace para J_0 (t) es

\displaystyle \mathcal{L} [\text{fer} \sqrt{t}] = \frac{1}{s \sqrt{s+1}}

Ahora

\displaystyle \int_{0}^{\infty}{e^{-st} \ \text{fer} \sqrt{t} \ dt} = \frac{1}{s \sqrt{s+1}}

Tomando el límite cuando s \rightarrow 1, resulta que

\displaystyle \lim_{s \rightarrow 1}{\int_{0}^{\infty}{e^{-st} \ \text{fer} \sqrt{t} \ dt}} = \lim_{s \rightarrow 1}{\frac{1}{s \sqrt{s+1}}}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}{e^{-t}\ \text{fer} \sqrt{t} \ dt} = \frac{1}{(1) \sqrt{1+1}}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}{e^{-t} \ \text{fer} \sqrt{t} \ dt} = \frac{1}{(1) \sqrt{2}}

\displaystyle \int_{0}^{\infty}{e^{-t} \ \text{fer} \sqrt{t} \ dt} = \frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle \therefore \int_{0}^{\infty}{e^{-t} \ \text{fer} \sqrt{t} \ dt} = \frac{\sqrt{2}}{2}

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