aplicaciones de cálculo diferencial, blog

Perímetro y área de un rectángulo. Máximos y mínimos. Aplicaciones de cálculo diferencial.

18 julio, 201916 junio, 2019 Cesar Reyes

Problema. Hallar el tipo de rectángulo de área máxima y cuyo perímetro se conoce.

Solución. Se lleva a cabo el análisis del problema.

Figura 4.13.1 Representando el área de un rectángulo.
Figura 4.13.2 Representando el perímetro de un rectángulo.

Paso 1. El área del rectángulo es

$A = \text{base} \cdot \text{altura}$

$A = xy$

Paso 2. El perímetro del rectángulo es

$P = 2(x+y)$

Despejando la variable “ $y$ ” de la ecuación del perímetro

$P = 2(x+y)$

$\displaystyle \frac{P}{2} = x + y$

$\displaystyle y = \frac{P}{2} - x$

Paso 3. Sustituyendo la ecuación “ $y$ ” en la ecuación del área

$A = xy$

$\displaystyle A = x \left( \frac{P}{2} - x \right)$

$\displaystyle A = \frac{P}{2} x - x^2$

Paso 4. Determinando la primera derivada del área

$\displaystyle \frac{d}{dx} (A) = \frac{d}{dx} \left(\frac{P}{2} x - x^2 \right)$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = \frac{P}{2} - 2x$

Paso 5. Si $\displaystyle \frac{dA}{dx} = 0$

$\displaystyle \frac{dA}{dx} = \frac{P}{2} - 2x$

$\displaystyle 0 = \frac{P}{2} - 2x$

$\displaystyle 2x = \frac{P}{2}$

$\displaystyle x = \frac{P}{4}$

Tomando el valor de “ $x$ ” y sustituyendo en la ecuación “ $y$ ”

$\displaystyle y = \frac{P}{2} - x$

$\displaystyle y = \frac{P}{2} - \frac{P}{4}$

$\displaystyle y = \frac{P}{4}$

El área del rectángulo es

$A = xy$

$\displaystyle A = \left( \frac{P}{4} \right) \left(\frac{P}{4} \right)$

$\displaystyle A = \frac{P^2}{16}$

Del resultado de la primera derivada del área, se determina su segunda derivada

$\displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dA}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{P}{2} - 2x \right)$

$\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} = -2$

Como $\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} < 0$ se trata de un máximo.

Por lo tanto, el área del rectángulo será máxima cuando su base y altura tengan $\displaystyle \frac{P}{4}$ (la cuarta parte de su perímetro).

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

2 comentarios en “Perímetro y área de un rectángulo. Máximos y mínimos. Aplicaciones de cálculo diferencial.”

Valeria dice:

31 mayo, 2021 a las 4:59 pm

¿Se puede conocer el área mínima conociendo el perímetro?

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1. Cesar Reyes dice:
  
  16 junio, 2021 a las 12:34 am
  
  Hola Valeria, si es posible…
  
  Me gustaMe gusta
  
  Responder

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