aplicaciones de cálculo diferencial, blog

Perímetro y área de un rectángulo. Máximos y mínimos. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema. Hallar el tipo de rectángulo de área máxima y cuyo perímetro se conoce.

Solución. Se lleva a cabo el análisis del problema.

Paso 1. El área del rectángulo es

A = \text{base} \cdot \text{altura}

A = xy

Paso 2. El perímetro del rectángulo es

P = 2(x+y)

Despejando la variable “y” de la ecuación del perímetro

P = 2(x+y)

\displaystyle \frac{P}{2} = x + y

\displaystyle y = \frac{P}{2} - x

Paso 3. Sustituyendo la ecuación “y” en la ecuación del área

A = xy

\displaystyle A = x \left( \frac{P}{2} - x \right)

\displaystyle A = \frac{P}{2} x - x^2

Paso 4. Determinando la primera derivada del área

\displaystyle \frac{d}{dx} (A) = \frac{d}{dx} \left(\frac{P}{2} x - x^2 \right)

\displaystyle \frac{dA}{dx} = \frac{P}{2} - 2x

Paso 5. Si \displaystyle \frac{dA}{dx} = 0

\displaystyle \frac{dA}{dx} = \frac{P}{2} - 2x

\displaystyle 0 = \frac{P}{2} - 2x

\displaystyle 2x = \frac{P}{2}

\displaystyle x = \frac{P}{4}

Tomando el valor de “x” y sustituyendo en la ecuación “y

\displaystyle y = \frac{P}{2} - x

\displaystyle y = \frac{P}{2} - \frac{P}{4}

\displaystyle y = \frac{P}{4}

El área del rectángulo es

A = xy

\displaystyle A = \left( \frac{P}{4} \right) \left(\frac{P}{4} \right)

\displaystyle A = \frac{P^2}{16}

Del resultado de la primera derivada del área, se determina su segunda derivada

\displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dA}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{P}{2} - 2x \right)

\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} = -2

Como \displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} < 0 se trata de un máximo.

Por lo tanto, el área del rectángulo será máxima cuando su base y altura tengan \displaystyle \frac{P}{4} (la cuarta parte de su perímetro).

2 comentarios en “Perímetro y área de un rectángulo. Máximos y mínimos. Aplicaciones de cálculo diferencial.”

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