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Un rectángulo inscrito en un triángulo. Máximos y mínimos. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema. Hay un triángulo escaleno de base 12 (cm) con una altura de 6(cm). Hallar el área del mayor rectángulo inscrito cuya base coincida con la base del triángulo.

Figura 4.10.1 Triángulo circunscrito en el rectángulo.

Solución. Analizando más a detalle el rectángulo inscrito en el triángulo escaleno

Figura 4.10.2 Analisis del rectángulo inscrito en el triángulo.

Paso 1. Por semejanza de triángulos

\displaystyle \frac{6}{6-y} = \frac{12}{x}

Despejando “y

\displaystyle \frac{6}{6-y} = \frac{12}{x}

\displaystyle 6x = 12(6-y)

6x=72-12y

12y=72-6x

\displaystyle y = 6 - \frac{1}{2} x

Paso 2. El área del rectángulo es

A=xy

Donde está dado en (cm^2).

Paso 3. Sustituyendo la ecuación “y” en la ecuación del área.

\displaystyle A = xy = x(6 - \frac{1}{2} x)

\displaystyle A = 6x - \frac{1}{2} x^2

Paso 4. Derivando el área con respecto a “x

\displaystyle \frac{d}{dx} (A) = \frac{d}{dx} \left(6x - \frac{1}{2} x^2 \right)

\displaystyle \frac{dA}{dx} = 6 - x

Paso 5. Si \displaystyle \frac{dA}{dx} = 0

0 = 6 - x

x = 6

Tomando este último valor y sustituyendo en la ecuación de “y

\displaystyle y = 6 - \frac{1}{2} x

y = 6 - \frac{1}{2} (6)

y=3

Si x=6 y y=3, el área del rectángulo es

A=xy

A=(6)(3)

A=18

Donde el área está dado en (cm^2).

Paso 6. Derivando nuevamente el área con respecto a “x

\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \frac{dA}{dx} \right) = \frac{d}{dx} (6 - x)

\displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} = - 1

Con \displaystyle \frac{d^2 A}{dx^2} < 0 se trata de un máximo. Por lo tanto, el rectángulo inscrito tendrá un área máxima de 18 cm^2, donde su base será de 6 (cm) y su altura de 3 (cm), es decir, la altura tendrá la mitad de su base.

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